Determinar $\lim_{x \to 0}{\frac{x-\sin{x}}{x^3}}=\frac{1}{6}$, sin L ' Hospital o Taylor

Question

Cómo puedo demostrar que %#% $ #%

¿sin utilizar serie L'Hospital o Taylor?

Gracias :)

Answer 1

Nota: La pregunta no dice nada sobre el no uso de series de Taylor. Entonces, después contesté esto, el OP cambia la pregunta y dijo no quería tampoco series de Taylor.

Otra opción sería utilizar serie de energía (también conocido como serie de Maclaurin también conocido como serie de Taylor centrada en 0)

$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$

En este punto, es bastante fácil.

Answer 2

Respuesta corta: la función de la discusión. Respuesta larga (detalles) está aquí.

Primer paso. Su fracción es una función par por lo que es suficiente para considerar que el derecho de limitar.

Segundo paso. Definir las funciones $f(x):=\sin(x)-x+\frac{1}{6}x^3$ $g(x):=\sin(x)-x+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5$ en el intervalo de $[0, 0.1]$.

Tercer paso. Demostrar que $f$ es estrictamente creciente y $g$ es estrictamente decreciente. ($f(0)=0$, es suficiente $f'>0$. $f'(0)=0$, así es suficiente $f''>0$ y así sucesivamente. Asimismo, para $g$.

Sucesivamente el paso. Desde el tercer paso $$ x-\frac{1}{6}x^3<\sin(x)<x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5. $$ El límite de la siguiente manera.

Answer 3

Suponiendo que $f$ es lo suficientemente suave y repetida aplicación del Teorema fundamental del cálculo da la (extensión de Taylor finito) $$f(x) = f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \int_0^x (x-t)^2 \frac{(f'''(t)-f'''(0))}{2!}\, dt$ $

Usando el hecho de que $\sin' = \cos, \cos' = -\sin$, podemos luego ampliar $f(x) = \sin x$ $$ \sin x = x -\frac{x^3}{6} + \int_0^x (x-t)^2 \frac{(-\cos t +1)}{2!}\, dt$ $ Let $\epsilon>0$ y $\delta>0$ tal de elegir eso si $|t|