Manipular la serie y encontrar el límite.

Question

Que $$ L= \lim{n\to \infty} \sum{r=0}^n \frac{2^r}{5^{2^r}+1},$ $ entonces encontrar $L$.

Intentó varias formas de manipular a la serie de diferencia, pero no lo hizo. Por favor ayuda

Muchas gracias

Answer 1

Sugerencia:

$$\dfrac1{5^{2^r}-1}-\dfrac1{5^{2^r}+1}=\dfrac2{\left(5^{2^r}\right)^2-1^2}=\dfrac2{5^{2^{r+1}}-1}$$

$$\implies\dfrac{2^r}{5^{2^r}-1}-\dfrac{2^{r+1}}{5^{2^{r+1}}-1}=\dfrac{2^r}{5^{2^r}+1}$$

Poner $r=0,1,2,\cdots,n-1,n$ reconocer el modelo telescópico .