Una fracción $\frac{p}{q}$ es un número natural iff $\left(\frac{p}{q}\right)^2$ es un número natural

Question

Deje $f$ se define de la siguiente manera

$$f: \Bbb Q \to \Bbb Q$$

$$f(x) = x^2$$

Mostrar que $f(ℕ) ∩ ℕ = f(\Bbb Q) ∩ ℕ$

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Mi intento de resolver este:

$$f(ℕ) ∩ ℕ = \{y \in \Bbb N \quad | \quad y = x^2, \quad x \in \Bbb N\}$$

$$f(\Bbb Q) ∩ ℕ = \{y \in \Bbb N \quad | \quad y = x^2, \quad x \in \Bbb Q\}$$

Por lo que es suficiente para mostrar que

$$\frac{p}{q} \in \Bbb N \iff \left(\frac{p}{q}\right)^2 \in \Bbb N$$

Por definición se sigue que

$$\frac{p}{q} \in \Bbb N \iff p = q \cdot l \qquad p,q,l \en \Bbb N \quad q \neq 0$$

También me enteré de que $$\left(\frac{p}{q}\right)^2 \in \Bbb N \iff p^2 = q^2 \cdot l^2$$ (el valor de $l$ permanece igual, ¿tengo que probar esto?)

Por lo $q \cdot l - p = 0 \iff q^2 \cdot l^2 - p^2 = 0$? Y si es así, ¿cómo proceder?

Estoy en el camino correcto?

Answer 1

si $$\frac{p}{q}$$ is a natural number then it must be $$\frac{p}{q}=m$$ and $m$ is a natural number, then we get by squaring $$p^2=q^2m^2$$ and $$\frac{p^2}{q^2}=m^2$$ es un número natural. si $$\frac{p^2}{q^2}=m^2$$ then we have $$p^2=q^2m^2$$ or $$(p-qm)(p+qm)=0$$ from here we get $$\frac{p}{q}=m$$ y este es un número natural.

Answer 2

Creo que lo contrario es un poco más complicado que como se muestra en la respuesta anterior. En Travis del post original, al hablar sobre el valor de $l$ sigue siendo la misma, sí lo hace, pero no podemos asumir que $l \in \mathbb{N}$ como se indica en la línea anterior.

Aquí está mi toma a este:

Es sencillo, que $\frac{p}{q} \in \mathbb{N} \implies \frac{p^2}{q^2} \in \mathbb{N}$. Ahora vamos a probar a $\frac{p^2}{q^2} \in \mathbb{N} \implies \frac{p}{q} \in \mathbb{N}$:

Supongamos $\frac{p}{q} \notin \mathbb{N}$. A continuación, $\exists \hat{p}, \hat{q} \in \mathbb{N}: \frac{p}{q} = \frac{\hat{p}}{\hat{q}} $$(\hat{p},\hat{q}) = 1$. (Reducción de la $\frac{p}{q}$ a su simplicidad de su forma)

Por lo tanto, $\frac{p^2}{q^2} = \frac{\hat{p}^2}{\hat{q}^2}$$(\hat{p}^2,\hat{q}^2) = 1\implies \frac{p^2}{q^2} \notin \mathbb{N}$. Este es el contrapositivo de la declaración original.