Límite de derivados

Question

Deje $f(x)$ ser una función continua y diferenciable en el intervalo de $(0, \infty)$ y deje $ \lim f'(x) = 0$ cuando x tiende a infinito. Demostrar que $\lim g(x)=0$ cuando x tiende a infinito, donde $g(x)=f(x+1)-f(x)$. Es intuitivo para mí que esto es cierto, pero no tengo idea de cómo demostrarlo rigurosamente, he utilizado algunos métodos, pero dudo que sea correcto.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(x+1)-f(x)=f'(\xi)$ donde $\xi \in [x,x+1]$.