Si $\Omega$ es convexa, entonces $K_{\Omega}$ es convexo?

Question

Deje $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ y $$K_{\Omega}=\{\lambda x|\lambda\ge0,x\in\Omega\}$$ Es cierto que si $\Omega$ es convexa, entonces $K_{\Omega}$ también es convexo.

Deje $\gamma\in(0,1)$$z,t\in K_{\Omega}$, por lo que tenemos $z=\lambda x,t=\mu y$ tal que $\lambda,\mu\ge0$$x,y\in\Omega$.

Ahora, ¿cómo $\gamma z+(1-\gamma)t=\gamma\lambda x+(1-\gamma)\mu y=\lambda\gamma x+\mu(1-\gamma)y$$K_{\Omega}$?

Answer 1

Bueno, voy a seguir tus anotaciones, y voy a notar $A = \lambda \gamma + \mu(1- \gamma)$. Si $\gamma = 0$, entonces obviamente $\lambda\gamma x + \mu (1 - \gamma) y = \mu y \in K_\Omega$ . De lo contrario, como $\lambda, \mu$ son positivas, y $\gamma >0$, está claro que $A>0$. Por lo tanto,

$$\lambda\gamma x + \mu (1 - \gamma) y = A \times \left\lbrace \frac{\lambda \gamma}{A}x + \frac{\mu(1-\gamma)}{A}y \right\rbrace $$

La cosa en el soporte que claramente es una combinación convexa de los elementos $x$ $y$ $\Omega$ (tenga en cuenta que $\lambda \gamma/A \in ]0,1[$), por lo que la expresión pertenece a $K_{\Omega}$, que es convexa.