Encuentra todas las funciones enteras tales que $|f(z)|\leq |z^2-1|$ para todo $z\in\mathbb C$.

Question

Encuentra todas las funciones enteras tal que $|f(z)|\leq |z^2-1|$ para todo $z\in\mathbb C$.

Para $z$ grande tenemos $$|f(z)|\leq 2|z|^2$$ entonces $f$ es un polinomio de grado $\leq 2$. Pero ¿cómo continuar? ¿Podría alguien darme una pista?

Answer 1

Dado que $|f(z)|\leq M |z|^2$ sabemos que $f$ tiene que ser un polinomio de grado $\leq 2$. (Versión extendida del Teorema de Liouville). Además, tenemos $$ f(1) = 0 $$ y $$ f(-1)=0 $$ así que por lo tanto $f(z) = C(z-1)(z+1)=C(z^2-1)$ para alguna constante $-1\leq C\leq 1$.