Hay análogos de Desargues y Vilano para los diseños de bloque?

Question

Finitos planos proyectivos son objetos fascinantes desde muchas perspectivas. Además de la geometría de la vista, que puede ser visto como una combinatoria de los diseños de bloque.

A partir de la perspectiva geométrica, hay dos muy importantes propiedades estructurales para proyectiva planos: el Teorema de Desargues, que tiene exactamente cuando el avión puede ser coordinatized por un anillo de división, y el Teorema de Vilano, que tiene precisamente cuando el avión puede ser coordinatized por un campo. Se trata de un famoso teorema de Wedderburn que cada finito de la división de anillo es un campo, por lo que las dos propiedades son equivalentes para finitos planos proyectivos.

Aunque ambos son muy combinatoria declaraciones, no recuerdo haber visto nada parecido a Desargues y Vilano para otras clases de diseños de bloque.

Hay interesantes análogos o generalizaciones de las propiedades de Desargues y Vilano para otras clases de diseños de bloque? De particular interés sería análogos y generalizaciones que corresponden (no necesariamente) a alguna forma de coordinatization de diseños.

Comentario. Esta pregunta ha generado una buena cantidad de interés. He estado considerando la posibilidad de aceptar la respuesta por John Conway y Carlos Roque, aunque no es muy satisfactorio. (Sólo respuestas de la primera parte de la pregunta en un sentido riguroso, y no la dirección de la segunda parte.) Así que me decidí a montar una pequeña recompensa para estimular otras respuestas.

Answer 1

Me pasó en su pregunta a John H. Conway. Aquí está su respuesta: (NB. Todo ello siguiendo esta línea es de Conway y está escrito desde su punto de vista. Por supuesto, en los comentarios y en otros lugares en el sitio, no soy Conway.)

Creo que no es bueno centrarse en los diseños de bloque en particular. Esto puede no responder a su pregunta, pero hay algunos interesantes ejemplos de teoremas similares a Desargues y Vilano de teoremas. Ellos no son los diseños de bloque, pero tienen muy agradable simetrías.

Yo llamo a estos "presque partout proposiciones" (p.p.p. para abreviar) de los franceses "casi todos". Esto se utiliza para que se utiliza comúnmente en lugar de "casi en todas partes" (así, uno podría escribir "p.p." en lugar de ".e."). El tema común de las propuestas es que hay algún problema gráfico, donde los vértices representan algunos de los objetos (por ejemplo, líneas o puntos) y las aristas representan las relaciones (por ejemplo, incidencia). Entonces los teoremas decir que si usted tiene a todos pero de uno de los bordes de un cierto gráfica, entonces usted tiene el último extremo, demasiado. Aquí están cinco de estos ejemplos:

Desargues teorema de
Gráfico: el Desargues gráfico = el bipartito doble tapa de el gráfico de Petersen
Vértices: representan puntos o líneas
Bordes: incidencia
Instrucción: Si usted tiene diez puntos y diez líneas que son incidentes en todas las maneras en que la Desargues gráfico indica excepto una incidencia, entonces usted tiene la última incidencia así. Esto puede ser visto para ser equivalente a la habitual declaración de Desargues del teorema.

Vilano del teorema de
Gráfico: el Vilano gráfico, altamente simétrica, bipartito, cúbico gráfico 18 vértices
Vértices: puntos o líneas
Bordes: incidencia
Declaración: Igual que en el teorema de Desargues.

"En ángulo recto hexágonos teorema"
Gráfico: el gráfico de Petersen en sí
Vértices: líneas en el 3-espacio
Bordes: las dos líneas se intersecan en ángulos rectos
Declaración: lo Mismo que antes, es decir, tener todos, pero uno de los bordes implica la existencia de esta última. Una versión equivalente es el siguiente: supongamos que usted tiene un "ángulo recto hexágono" en un espacio de 3 dimensiones, es decir, seis líneas que cíclicamente se reúnen en ángulos rectos. Supongamos que son de otra manera en una posición genérica, por ejemplo, los bordes opuestos del hexágono son líneas oblicuas. Los tres pares de lados opuestos y dibujar su común perpendiculares (esto es único para líneas oblicuas). Estas tres líneas tienen un común perpendicular a sí mismos.

Roger Penrose "cónica" cubo de teorema
Gráfico: el cubo gráfico Q₃
Vértices: cónicas en el plano
Bordes: dos cónicas que son doblemente tangente
Declaración: Igual que antes. Tenga en cuenta que este teorema no es publicado.

Estándar algebraicas ejemplos
Gráfico: lamentablemente, esto no es visto como un gráfico
Declaración: Cónicas que ir a través de 8 puntos en común ir a través de un 9 punto en común. Quadric superficies a través de 7 puntos de ir a través de un 8 (o cualquiera que sea el número de la derecha es).

De todos modos, no sé de más ejemplos.

También, no sé qué más teoremas uno realmente podría tener sobre coordinatization. Quiero decir, después de tener un campo, ¿qué más se puede pedir a otros que, por ejemplo, su característica? (Por cierto, la mejor referencia sé que para la coordinatization teoremas es H. F. Baker del libro "Principios de la Geometría".)

En cualquier caso, ¡a disfrutar!