Suma de la secuencia

Question

Cuál es la suma de la siguiente secuencia

$$\begin{align*} (2^1 - 1) &+ \Big((2^1 - 1) + (2^2 - 1)\Big)\\ &+ \Big((2^1 - 1) + (2^2 - 1) + (2^3 - 1) \Big)+\ldots\\ &+\Big( (2^1 - 1)+(2^2 - 1)+(2^3 - 1)+\ldots+(2^n - 1)\Big) \end{align*}$$

He intentado resolverlo. Reduje la ecuación a la siguiente ecuación

$$n(2^1) + (n-1)\cdot2^2 + (n-2)\cdot2^3 +\ldots$$

pero no soy capaz de resolverlo. ¿Puede alguien ayudarme a resolver esta ecuación? Esta ecuación se deriva de algún rompecabezas.

Gracias de antemano

Answer 1

Tenemos $$\begin{align} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(2^j-1) &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i2^j-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i1\\ &=\sum_{i=1}^n(2^{i+1}-2)-\sum_{i=1}^ni\\ &=2\sum_{i=1}^n2^{i}-\sum_{i=1}^n2-\sum_{i=1}^ni\\ &=2(2^{n+1}-2)-2n-\frac12n(n+1)\\ &=2^{n+2}-4-\frac52n-\frac12n^2\\ \end{align} $$

Answer 2

Observemos que $$(2^1 - 1) + (2^2 - 1) + \cdots + (2^k - 1) = 2^{k+1} - 2-k$$ donde hemos utilizado la serie geométrica. Así, la suma deseada es en realidad $$\sum_{k=1}^n{2^{k+1}-2-k}$$ . Como se trata de una suma finita, podemos evaluar cada uno de los términos por separado. Obtenemos que la suma es $$2\left(\frac{2^{n+1}-1}{2-1}-1\right) - 2n- \frac{n(n+1)}{2} = 2^{n+2}-4 - 2n-\frac{n(n+1)}{2} $$

Answer 3

Otros han dado la respuesta correcta; he aquí cómo podrías haber simplificado tu expresión incorrecta.

$$\begin{align*} n(2^1) + (n-1)\cdot2^2 + (n-2)\cdot2^3 +\ldots&=\sum_{k=1}^n(n-k+1)2^k\\ &=(n+1)\sum_{k=1}^n2^k-\sum_{k=1}^nk2^k\\ &=(n+1)\left(2^{n+1}-2\right)-\sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^k2^k\\ &=(n+1)\left(2^{n+1}-2\right)-\sum_{i=1}^n\sum_{k=i}^n2^k\\ &=(n+1)\left(2^{n+1}-2\right)-\sum_{i=1}^n\left(2^{n+1}-2^i\right)\\ &=(n+1)\left(2^{n+1}-2\right)-n2^{n+1}+\sum_{i=1}^n2^i\\ &=(n+1)\left(2^{n+1}-2\right)-n2^{n+1}+2^{n+1}-2\\ &=2\cdot2^{n+1}-2n-4\\ &=2^{n+2}-2n-4 \end{align*}$$