El anillo total de fracciones de un anillo noetheriano reducido es un producto directo de campos

Question

Se trata de la pregunta 6.5 de "Teoría de los anillos conmutativos" de Matsumura:

¿Cómo puedo demostrar que el anillo total de fracciones de un anillo noetheriano reducido es un producto directo de campos?

Answer 1

Desde $A$ es un anillo noetheriano reducido, los ideales primos mínimos $P_1, \dots, P_n$ son exactamente los primos que pertenecen a $(0)$ . Escoge $S = A \setminus (P_1 \cup \dots \cup P_n)$ el conjunto multiplicativo de los divisores no nulos de $A$ .

Obsérvese que los únicos primos de $S^{-1}A$ son $S^{-1}P_1, \dots, S^{-1}P_n$ por lo que son coprimas por pares. Por el Teorema Chino del Resto, el producto $$ f \ \colon \ S^{-1} A \longrightarrow \prod_{i=1}^n S^{-1}A / S^{-1} P_i $$ de las proyecciones del cociente $S^{-1} A \to S^{-1}A / S^{-1} P_i$ es suryente. Por otro lado, $f$ es inyectiva porque $S^{-1} P_1 \cap \dots \cap S^{-1} P_n = 0$ . Está claro que $S^{-1} A / S^{-1}P_i$ es el campo de residuos $k(P_i)$ de $P_i$ .

Answer 2

El anillo total de la fracción $Q(A)$ es artiniano (sus elementos no invertibles son divisores de cero por lo que todos sus primos mínimos son máximos): es el producto $$ A=\prod_i A/\mathfrak{m}_i^{k_i} $$ con $\mathfrak{m}_i$ sus ideales primos mínimos/máximos (véase, por ejemplo, Atiyah MacDonald 8.7)

El anillo total de la fracción $Q(A)$ sigue siendo reducido (conmutación de $S^{-1}$ y nilradical - Atiyah MacDonald 3.11 - o a mano $(a/s)^k=0\implies ta^k=0\implies (ta)^k=0\implies A/s=0$ ): todo el factor $A/\mathfrak{m}_i^{k_i}$ debe ser con $k_i=1$ .