Determinar el grupo de Galois de la división $x^4 - 4x +2$ en $\mathbb{Q}$

Question

Por el criterio de Eisenstein esto es irreducible sobre Q, y sé que sólo tiene 2 raíces reales. ¿Es realmente resoluble por radicales? Sé que el grupo de Galois es isomorfo a algún subgrupo de $S_4$ que es un grupo soluble, lo que significa que el grupo de Galois es soluble, pero no puedo averiguar cómo hacerlo.

Answer 1

Bueno, cuando derivas tu polinomio $f$ sólo se obtiene una raíz real $1$ para $f'$ . Entonces ves que $f$ está disminuyendo de $-\infty$ à $1$ y aumentando de $1$ à $+\infty$ . Ahora bien, desde $f(1)=-1$ . Vemos que $f$ tiene dos raíces reales y dos complejos conjugados no reales.

Ahora se deduce que la conjugación coompleja fijará dos raíces (la real) e intercambiará las dos no reales. Es decir, el grupo de Galois induce una transposición del conjunto de raíces. Se deduce que su grupo de Galois como subgrupo de las permutaciones de las raíces $\mathfrak{S}_4$ contendrá una transposición. Hasta la conjugación sólo hay dos subgrupos transitivos que contienen una transposición :

$$\mathfrak{S}_4\text{ and } D_4 $$

Donde $D_4$ es una $2$ -Sylow de $\mathfrak{S}_4$ .

Reducir el polinomio mod $5$ se obtiene $x^4+x+2$ . Mod $5$ esto factoriza :

$$(x-2)(x^3+2x^2-x-1) $$

Observando que ambos polinomios en la factorización son irreducibles mod $5$ , tienes un teorema en tu curso que dice que esto implica que tienes un $3$ -ciclo en su grupo de Galois. Debido a la alternativa que ya destacamos el grupo de Galois no puede dejar de ser $\mathfrak{S}_4$ .

Answer 2

Es de grado 4, así que si todo lo demás falla (adivinar las raíces, otros trucos) siempre puedes usar la ecuación cuártica. http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html