Resumen de la Primera y Segunda Derivada de una Función

Question

P. Dado que el $u=\arctan\left(\frac{x^3+y^3}{x-y}\right)$, de probar lo siguiente :

$$x^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+2xy\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=(1-4\sin^2 u)\sin(2u)$$

(Las correspondientes derivadas parciales se supone que ser continuo)

Intento de solución incompleta:

$$\tan(u)=\frac{x^3+y^3}{x-y}=f~\textrm{(say)}$$

Tomamos nota de que $f$ es homogénea de la función en $x,y$ grado $2$ y, por lo tanto, un resultado general de el Teorema de Euler, tenemos,

$$x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+2xy\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=2(2-1)f=2\tan(u)$$

Estoy teniendo problemas para expresar las derivadas parciales de segundo orden de $f$ en términos de $u$ (soy relativamente nuevo en esto). Alguien me puede ayudar? No quiero la solución completa, cómo aplicar la regla de la cadena para obtener las derivadas parciales de $f$ en términos de $u$. Gracias.

Answer 1

Aquí es un esquema de una manera de avanzar.

Designar el argumento de la arcotangente por la nueva variable $t$, de modo que

$$t(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x-y}$$

Por lo tanto, podemos escribir la $u(t(x,y))=\arctan (t(x,y))$. Entonces, tenemos

$$\begin{align} \sin u&=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \tag 1\\\\ \sin(2u)&=\frac{2t}{1+t^2}\tag 2\\\\ u'(t)&=\frac{1}{1+t^2}\tag 3\\\\ u''(t)&=\frac{-2t}{(1+t^2)^2}\tag 4 \end{align}$$

Y a partir de la Regla de la Cadena, tenemos

$$\begin{align} \frac{\partial u}{\partial x}&=u'(t)\frac{\partial t}{\partial x}\\\\ \frac{\partial u}{\partial y}&=u'(t)\frac{\partial t}{\partial y}\\\\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}&=u''(t)\left(\frac{\partial t}{\partial x}\right)^2+u'(t)\frac{\partial^2 t}{\partial x^2} \tag 5\\\\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}&=u''(t)\left(\frac{\partial t}{\partial y}\right)^2+u'(t)\frac{\partial^2 t}{\partial y^2} \tag 6\\\\ \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}&=u''(t)\left(\frac{\partial t}{\partial x}\frac{\partial t}{\partial y}\right)+u'(t)\frac{\partial^2 t}{\partial x \partial y} \tag 7\\\\ \end{align}$$

El uso de $(5)-(7)$ y el resultado general de el Teorema de Euler, tenemos

$$u''(t)\left(x\frac{\partial t}{\partial x}+y\frac{\partial t}{\partial y}\right)^2+2tu'(t)=(1-4\sin^2(u))\sin(2u)$$

Ahora, terminar con el cálculo de las derivadas parciales de $t$ con respecto al $x$ $y$ y el uso de $(1)-(4)$.

Answer 2

No es una mala idea hacer un seguimiento de sus dependencias de variables, especialmente en el aprendizaje de la regla de la cadena de problemas. En concreto, su declaración de $\tan u = f$ es más claro al escrito $$\tan u(x,y) = f(x,y).$$ Ahora usted puede tomar la derivada de ambos lados con respecto a $x$. $$\sec^2 (u(x,y)) \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x,y).$$ La diferenciación de nuevo da $$2\sec^2 (u(x,y)) \tan (u(x,y)) \left(\frac{\partial u}{\partial x} (x,y) \right)^2 + \sec^2(u(x,y)) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,y) = \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(x,y).$$

Se pone un poco desordenado con todas las dependencias, especialmente en los derivados, por lo que se pueden colocar cuando usted se siente cómodo al hacerlo. Pero la escritura pueden ayudar con la regla de la cadena cuestiones.