Recientemente, descubrí que un teorema de mi conferencia sobre geometría diferencial es falso debido a una generalidad demasiado grande. $X,Y$ tenemos la equivalencia:
¡Incorrecto! $[X,Y] = 0$ $ \iff $ los flujos asociados $h^X$ , $h^Y$ viaje de ida y vuelta.
La versión de wikipedia dice que los flujos se desplazan localmente .
Pregunta
Sugerí arriba, tengo un contraejemplo que refuta el teorema tal como fue expuesto en mi conferencia. Pero es un ejemplo no compacto y formalmente el flujo global no existe. Me gustaría ver un contraejemplo con un colector compacto o al menos con soportes compactos de ambos campos vectoriales.
Mi contraejemplo (no compacto)
Considere el múltiple $M$ parametrizado por $f: (- \pi , \pi ) \times \mathbb R_+ \to \mathbb R^3$ : $$f( \phi ,r) = (r \cos (2 \phi ), r \sin (2 \phi ), \phi ).$$
Se puede ver fácilmente, que localmente (es suficiente considerar un arco (en $(- \pi , \pi ) \subseteq S^1$ ) más corto que la mitad del círculo) este colector es un gráfico de alguna función $g'$ (dependiendo de la vecindad local) de las dos primeras coordenadas $(x,y)$ de $ \mathbb R^3$ . Deje que $g$ se definirá de la siguiente manera: $g(x,y)=(x,y,g'(x,y))$ - es una parametrización local de $M$ . Podemos encontrar una cubierta $\{U^i\}_{i \in \{1,2,3\}}$ de $M$ de tal manera que para cada $U^i$ existe una parametrización $g^i$ como en el caso anterior (para las $\{U^i\}$ dominio de $g^i$ puede ser elegido como $ \mathbb R^2 \setminus h^i$ donde $h^i$ es una línea media que comienza en $0$ ).
Ahora: dejemos $X_{|U^i} = g^i_* \left (- \frac { \partial }{ \partial x} \right )$ y $Y_{|U^i} = g^i_* \left ( \frac { \partial }{ \partial y} \right )$ para todos $i$ - podemos ver fácilmente que la definición es correcta. Además, está claro que localmente los flujos asociados se desplazan (localmente estamos en $ \mathbb R^2$ y los campos vectoriales provienen del sistema de coordenadas (estándar)).
Ok, es hora de la fiesta. Toma nota. $f(- \frac { \pi }{8}, \sqrt 2)=(1,-1,- \frac { \pi }{8})$ . Sigue el flujo de $Y$ para $ \Delta t=2$ (terminas en $(1,1, \frac { \pi }{8})$ ) y luego por el mismo tiempo a lo largo del flujo de $X$ - te detendrás en el punto $(-1,1, \frac {3 \pi }{8})$ . Por otro lado, si vas primero a lo largo del flujo de $X$ y luego $Y$ terminará en $(-1,1,- \frac {5 \pi }{8})$ .
Actualización Una cosa curiosa es que ese múltiple $M$ del ejemplo anterior es difeomórfico con el plano. Sugiere que el teorema de mi conferencia está muy lejos de ser verdadero (¡es falso incluso en el dominio de una carta!). Si tenemos un método de extendiendo un par de campos vectoriales de desplazamiento de un disco a todo un múltiple habríamos terminado. ¿Quizás sea el camino correcto?
También tenga en cuenta que no necesitamos $r \in\mathbb R_+$ para el contraejemplo, un intervalo finito es suficiente (y de manera similar para $ \phi $ ), para que podamos modificar $X,Y$ cerca de los bordes de nuestro disco.
