Un tipo de mínimo local

Question

Datos: $\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$ es un abierto conectado (puede ser ilimitado), y localmente $\partial \Omega$ es aLipschitz gráfico. $S \subset \partial \Omega$ es measurabel y $H^{n-1}(S)>0.$ El de Dirichlet datos en $S$ se dan por no negativo de la función de $u^0 \in ^{1}_{Loc}(\Omega)$$\nabla u^0 \in L^{2}(\Omega)$. La fuerza de la función $Q$ es no negativo y medibles.

Considerar el conjunto convexo \begin{equation} K:=\{ v \in L^{1}_{Loc}(\Omega): \nabla v \in L^{2}(\Omega) \quad \mbox{and} \quad v=u^0 \quad \mbox{on} S\}. \end{equation} Estamos buscando un mínimo absoluto de la funcional \begin{equation} J(v):= \int_{\Omega}(|\nabla v|^{2} + \chi(\{v>0\})Q^2) \end{equation} en la clase de $K$.

Definición: llamamos a $u \in K$ un mínimo local si para algunos smal $\varepsilon>0$ tenemos $J(u)\le J(v)$ por cada $v \in K$ con \begin{equation} \|\nabla (u-v)\|_{L^{2}(\Omega)} + \| \chi(\{v>0\}) -\chi(\{u>0\})\|_{L^{1}(\Omega)} \le \varepsilon. \end{equation}

Lema: Si $u$ es un mínimo local, a continuación, $u$ es subarmónicos, por lo tanto podemos asumir que \begin{equation} u(x) = \lim_{r\downarrow 0} \oint_{B_r(x)}u \quad \mbox{for} \quad x \in \Omega, \end{equation} donde $\oint $ denota el valor de la media.

Prueba: no negativos funciones de $\xi \in C^{\infty}_{0}(\Omega)$ hemos

\begin{equation} 0 \le \limsup_{\varepsilon\downarrow 0} \dfrac{1}{2\varepsilon} (J(u- \varepsilon \xi) - J(u)) \le - \int_{\Omega} \nabla \xi \nabla u, \end{equation} es decir, $u$ es subarmónicos. A continuación, el límite en el assertuion existe para cada $x \in \Omega$, y coincide con $u(x)$ en casi todas las $x$.

Lema: Si $u$ es un mínimo local, a continuación,$0\le u\le\sup_{\Omega}u^0$.

Prueba:Por $|\varepsilon|\le 1$ uso de $u_\varepsilon:=u-\varepsilon \min (u,0)$ $u_\varepsilon:=u+\varepsilon \min (\sup_{\Omega}u^0-u,0)$ como una primera variación.

1. El lema sugiere que $u$ es subarmónicos si para todos no negativos $\xi \in C^{\infty}_{0}(\Omega)$ hemos \begin{equation} \int_{\Omega} \nabla \xi \nabla u \le 0 \end{equation} Me gustaría saber cuál es la relación entre esta definición de subharmoninic y otros. Por ejemplo, por trudinger, si $u$ es subarmónicos tenemos \begin{equation} u(x) \le \lim_{r\downarrow 0} \oint_{B_r(x)}u \quad \mbox{for} \quad x \in \Omega. \end{equation} Por favor, corrígeme si me equivoco.
2. En el último lema, Lo que es un primer variariation?

3.\begin{eqnarray} \limsup_{\varepsilon \downarrow 0}\dfrac{1}{2\varepsilon} (J(u- \varepsilon \xi) - J(u))&=& \limsup_{\varepsilon \downarrow 0}\left \{\dfrac{1}{2\varepsilon}( \int_{\Omega} -2 \varepsilon \nabla \xi \nabla u + \varepsilon^2 \nabla \xi + \chi(\{u-\varepsilon \xi> 0\}) - \chi(\{u>0\}))\right \} \\ &\le & \limsup_{\varepsilon \downarrow 0}\left \{\dfrac{1}{2\varepsilon}( \int_{\Omega} -2 \varepsilon \nabla \xi \nabla u + \varepsilon^2 \nabla \xi \right \}\\ & & + \limsup_{\varepsilon \downarrow 0}\left \{ \chi(\{u-\varepsilon \xi>0\}) - \chi(\{u>0\}))\right \} \\ &\le& \int_{\Omega} -\nabla \xi \nabla u + \limsup_{\varepsilon \downarrow 0}\dfrac{1}{2\varepsilon}\left \{ \chi(\{u-\varepsilon \xi>0\}) - \chi(\{u>0\}))\right \} \end{eqnarray} Estoy aquí? Por qué $\limsup_{\varepsilon \downarrow 0}\dfrac{1}{2\varepsilon}\left \{ \chi(\{u-\varepsilon \xi>0\}) - \chi(\{u>0\}))\right \} \le 0$?

Si desea que los detalles se pueden encontrar en el artículo Alt, H. M. y Caffarelli, L. A. Existencia y regularidad durante un mínimo problema con frontera libre. J. Reine Angew. Matemáticas., 325, (1981), 105-144.. Agradezco cualquier sugerencia.

Answer 1

1). Tenga en cuenta que esto es sólo una forma débil de subharmonicity: Si $u$ era suave, luego $$ \int\nabla\xi\nabla u = -\int\xi\Delta u, $$ y así la definición coincide con la pointwise definición de subharmonicity (es decir, $\Delta u\geq0$).

Subharmonicity en Gilbarg-Trudinger es $$ u(x) \le \oint_{B_r(x)}u \quad \mbox{para} \quad x \in \Omega, $$ y para todos lo suficientemente pequeño $r>0$.

2). Aquí una primera variación significa que usted conecte $u_\varepsilon$ a $J(\cdot)$ y el uso que $J(u_\varepsilon)\geq J(u)$.

3). Su manipulación es correcta, pero no debe ser $\varepsilon^2|\nabla\xi|^2$ en lugar de $\varepsilon^2\nabla\xi$. Para la última pregunta, ya que el $\varepsilon>0$$\xi\geq0$,$u-\varepsilon\xi\leq u$, por lo que $$ \chi(\{u\varepsilon\xi>0\})\subconjunto\chi(\{u>0\}). $$