Un teorema sobre la p-ádico de alimentación de la serie

Question

Esta es una pregunta acerca de una prueba de un teorema en muchos libros de $p$-ádico números y no me parecen entender una de las direcciones. El teorema es

Deje $f(X) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nX^n \in \mathbb{Q}_p[[X]]$ $p$- ádico de alimentación de la serie. Deje $c \in D_f$, el dominio de convergencia de $f$, lo $f(c)$ converge. Definir $g_m$ por

$g_m = \sum\limits_{n \geq m} \left(\begin{array}{c} n\\m\end{array} \right)a_nc^{n-m}$

y establecer $g(X) = \sum\limits_{m=0}^\infty g_mX^m.$ $D_f = D_g$ (el dominio de convergencia de $g$) y, además, para todos los $b \in D_f$, $f(b+c) = g(b).$

Yo no tengo ningún problema con la prueba de que $D_f \subseteq D_g$, de lo contrario no lo entiendo. Todos los recursos que he ido ha dicho el argumento es simétrica y sigue desde la inversión de los roles de $f$$g$. No veo por qué esto es cierto. Todo el argumento para mostrar que $D_f \subseteq D_g$ está dado por el control de la plazo

$\left| \left(\begin{array}{c} n\\m\end{array} \right)a_nc^{n-m}b^m\right|_p$

donde $b \in D_f$. Pero cuando trato de hacer esto para $b \in D_g$, no puedo obtener el mismo límite. De hecho, lo que me pasa es que el término arriba mencionado está delimitado por $|a_n|_p\rho^n$ donde $\rho$ satisface $|c|_p \leq \rho$ $|b|_p \leq \rho$ y no veo ninguna razón por qué debería ir a cero, y además no veo cómo esto juega fuera de cualquier simetría en la prueba. Cualquier ayuda para conseguir mi comprensión de lo que estoy interpretando mal, sería muy apreciado.

Answer 1

Que sin duda debe ser al menos de manera intuitiva posible de afirmar que el simple resultado. Para entender lo que está sucediendo, usted debe hacer algo de mano de computación en la serie. Permítanme mostrarles:

Si usted expandir $f(X+c)$, sólo ir tan lejos como, tal vez la $X^4$-términos, vas a ver que $g(X)=f(X+c)$. Ahora, el dominio de convergencia de $f$ es un grupo de $S$, y su hipótesis es que el$c$$S$. Desde $S-c=S$, los números que hacen de $g$ convergen son exactamente los números que hacen de $f$ convergen. Eso es todo allí está a él. Por supuesto, usted tiene que justificar mi afirmación de "vas a ver que...".

EDITAR - Expansión:

Si usted cree que su propia prueba de que $D_f\subseteq D_g$, y que para cada $z\in D_f$, $f(z+c)=g(z)$, entonces todavía me parece que estás hecho. Deje $f(X+c)=\sum_{n\ge0}b_nX^n=g(X)$, y hacer lo mismo a la inversa, $h(X)=g(X-c)=\sum_{n\ge0}\beta_nX^n$, por lo que por su resultado, $D_g\subseteq D_h$. Ahora, a partir de la evaluación parte, $h(X)-f(X)$ es una potencia de la serie que se desvanece en cada una de las $z\in D_f$, y por lo tanto es la potencia cero de la serie, por lo que $h=f$, $D_h=D_f$, y por lo tanto $D_g=D_f$.