Esta es una pregunta acerca de una prueba de un teorema en muchos libros de $p$-ádico números y no me parecen entender una de las direcciones. El teorema es
Deje $f(X) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nX^n \in \mathbb{Q}_p[[X]]$ $p$- ádico de alimentación de la serie. Deje $c \in D_f$, el dominio de convergencia de $f$, lo $f(c)$ converge. Definir $g_m$ por
$g_m = \sum\limits_{n \geq m} \left(\begin{array}{c} n\\m\end{array} \right)a_nc^{n-m}$
y establecer $g(X) = \sum\limits_{m=0}^\infty g_mX^m.$ $D_f = D_g$ (el dominio de convergencia de $g$) y, además, para todos los $b \in D_f$, $f(b+c) = g(b).$
Yo no tengo ningún problema con la prueba de que $D_f \subseteq D_g$, de lo contrario no lo entiendo. Todos los recursos que he ido ha dicho el argumento es simétrica y sigue desde la inversión de los roles de $f$$g$. No veo por qué esto es cierto. Todo el argumento para mostrar que $D_f \subseteq D_g$ está dado por el control de la plazo
$\left| \left(\begin{array}{c} n\\m\end{array} \right)a_nc^{n-m}b^m\right|_p$
donde $b \in D_f$. Pero cuando trato de hacer esto para $b \in D_g$, no puedo obtener el mismo límite. De hecho, lo que me pasa es que el término arriba mencionado está delimitado por $|a_n|_p\rho^n$ donde $\rho$ satisface $|c|_p \leq \rho$ $|b|_p \leq \rho$ y no veo ninguna razón por qué debería ir a cero, y además no veo cómo esto juega fuera de cualquier simetría en la prueba. Cualquier ayuda para conseguir mi comprensión de lo que estoy interpretando mal, sería muy apreciado.
