¿Existe un número entero (claramente no 1) tal que tenga tanto raíz cuadrada entera como raíz cúbica entera?

Question

Por sentido común, parece imposible, y creo que no existe tal número entero (excepto el 1). Pero es difícil (personalmente por ahora) para llegar a una aproximación a la prueba.

Formalmente, ésta es la cuestión:

"¿Existe un $a\in$$Z$ and $b\in$$Z$ tal que $\exists$$n$$Z$ donde $a^2=n$ y $b^3=n$ ."

Answer 1

Sí, $n = m^6$ para cualquier número entero $m > 1$ lo hará. El ejemplo más pequeño es $64 = 2^6 = 4^3 = 8^2$ .

De hecho, no hay otras posibilidades (aparte de $0$ y $1$ que son sus propias sextas potencias). Una forma fácil de ver esto es observar que el factorización de primos de cualquier cuadrado debe incluir cada primo un número par de veces, mientras que la de cualquier cubo debe incluir cada primo un múltiplo de tres veces.

Así, la factorización de cualquier número que sea a la vez un cuadrado y un cubo debe incluir cada primo un número de veces divisible tanto por dos como por tres; todos esos números son múltiplos de seis, por lo que el número factorizado debe ser una sexta potencia.