Dividiendo el intervalo en $\rm\,n\,$ piezas iguales.

Question

Yo estaba haciendo ejercicio 20 de Spivak del Cálculo, de la que dice

(a) Encontrar una función $\rm\,f\,$, otros de una función constante tal que $$\rm\,|f(x)-f(y)|\le|y-x|\,$$ (b) Supongamos que $\rm\,f(y)-f(x)\le(y-x)^2\,$ todos los $\rm\,x\,$$\rm\,y\,$. (¿Por qué hace esto implica que $\rm\,|f(y)-f(x)|\le(y-x)^2\,$?) Demostrar que $f$ es una función constante. Sugerencia: Divida el intervalo de $\rm\,x\,$ $\rm\,y\,$a $\rm\,n\,$ piezas iguales.

Podría hacerlo (a) sin mucho problema. Pero para (b) yo no podía hacerlo después de horas de pensar. así que me veo en la solución de libro

No puedo entender cómo le va a la verde. (¿qué es la intuición?) Para la primera desigualdad es fácil ver porque $$\rm|\sum_i a_i|\le\sum_i|a_i|$$ but then how does he go to the orange part? And how he goes to the yellow part? (riemann sums aren't introduced in that part). Also how can he concludes that $\rm\,f\,$ must then be constant? Limits aren't covered in that part, so you can't let $\rm\n\to\infty\,$

Se trata simplemente de un mal ejercicio para poner en esa sección porque nunca me vienen con esa solución?

gracias!

$$\bbox[8pt,border:3px white solid]{\color{black}{\large}}$$

Answer 1

El primer paso es un "telescópica suma:"

$$x_n-x_0 = (x_1-x_0)+(x_2-x_1)+\cdots + (x_{n}-x_{n-1})$$

Observe cómo los términos cancelar.

La línea naranja viene de $|f(X)-F(Y)|\leq (X-Y)^2$,$X=x+\frac{k}{n}(x-y)$$Y=x+\frac{k-1}{n}(x-y)$, lo $X-Y=\frac{1}{n}(x-y)$.

Para la línea amarilla, si $C$ es constante, a continuación,$\sum_{k=1}^n C =nC$. En este caso, $C=\frac{(y-x)^2}{n^2}$, que no depende de la $k$.

Por último, hemos demostrado que el $|f(x)-f(y)|<\frac{(y-x)^2}{n}$ todos los $n$. Eso significa que $|f(x)-f(y)|$ es menor de todos los números positivos, por lo tanto debe ser cero.

Answer 2

Como la suma de Riemann, que dividieron el intervalo de $[x,y]$$x_0 = x, x_i = x+(y-x)\dfrac{i}{n}$, entonces él utiliza:

$f(y) = (f(y) - f(x_{n-1})) + (f(x_{n-1} - f(x_{n-2})) + \cdots (f(x_2) - f(x_1) + (f(x_1) - f(x_0)) + f(x)$, de este modo, el verde de la ecuación de la siguiente manera.

Answer 3

La intuición es que la suma es telescópico: Escribir el primer par de términos:

$$f(x+[y-x]/n) - f(x) + f(x+2[y-x]/n) - f(x+[y-x]/n)+f(x+3[y-x]/n-f(x+2[y-x]/n)+\cdots +f(y)-f(x+(n-1)[y-x]),$$

y notar cómo todos los términos de cancelación, salvo que $f(x)$$f(y)$.

De forma equivalente, si se divide el supuesto de obtener: $|f(x)-f(y)| / |x-y| \leq |x-y|$, fix $y$ y tomar el límite de $x\rightarrow y$, vas a la conclusión de $f'(y)=0$ en todas partes, una función constante.