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¡Has hecho algo horroroso!»

$$ \mathbf{\mbox{Evaluar:}}\qquad \int_{0}^{5} \frac{\pi(1+\frac{1}{2\sqrt{x}} )}{\sqrt{10}\sqrt{\sqrt{x}+x}} \,\,\mathrm{d}x $$

Este es un muy feo integral, pero parece tener una muy simple y cerrada en forma de: $$\Gamma(\frac15)\Gamma(\frac45)$$ Mathematica puede evaluar esta integral, pero WolframAlpha ni siquiera dar una respuesta numérica correcta. He probado muchas técnicas en esta integral, pero no han sido capaces de descifrarlo.

Cualquier ayuda en este integral sería muy apreciada. Gracias!

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tilper Puntos 779

Deje $u = \sqrt{x} + x$. Entonces tenemos $$ \frac\pi{\sqrt{10}} \int_0^5 \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt x}}{\sqrt{\sqrt x + x}} \, dx = \frac\pi{\sqrt{10}} \int_0^{\sqrt{5}+5} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du$$

Si quieres ser pedante (y quién no?!) a continuación, debemos señalar que esta es una integral impropia porque el integrando no está definido en el límite inferior de la integración. Por lo tanto:

\begin{align} \frac\pi{\sqrt{10}} \int_0^{\sqrt{5}+5} \frac{1}{\sqrt{u}} \, du &= \lim_{B\to0^+}\frac\pi{\sqrt{10}} \int_B^{\sqrt{5}+5} \frac{1}{\sqrt{u}}\, du \\[0.3cm] &= \frac{2\pi}{\sqrt{10}} \lim_{B \to 0^+} \sqrt{u}\bigg|_B^{\sqrt5 + 5} \\[0.3cm] &= \frac{2\pi}{\sqrt{10}} \lim_{B\to0^+} \left(\sqrt{\sqrt5 + 5} - \sqrt B\right)\\[0.3cm] &= \frac{2\pi}{\sqrt{10}} \left(\sqrt{\sqrt5 + 5} - 0\right)\\[0.3cm] &= \frac{2\pi\sqrt{\sqrt5 + 5}}{\sqrt{10}} \end{align}

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John Hughes Puntos 27780
  1. Sustituto $x = u^2$. Puedes terminar con un denominador que contiene $\sqrt{u + u^2}$.

  2. Completar el cuadrado en virtud de la radical a $\sqrt{ u^2 + u + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = \sqrt{ (u+\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}}$.

  3. Sustituto $z = 2(u+\frac{1}{2})$, por lo que el $u + \frac{1}{2} = \frac{z}{2}$, y simplificar.

A continuación, hacer un trigonométricas sustitución en el plazo en virtud de la radical a deshacerse de los radicales, y usted debe estar en su camino.

Post-comentario addendum:

Para convertir el resultado (digamos de @Hrhm la respuesta) gamma en la forma de la función, el uso de Euler Reflexión de la Fórmula, lo cual nos indica que $\Gamma(\frac{1}{5}) \Gamma(\frac{4}{5}) = \frac{\pi}{\sin \frac{ \pi}{5}}$.

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Hrhm Puntos 499

He utilizado el siguiente sitio: http://www.integral-calculator.com/

Primer sustituto $u=x+\sqrt{x}$

Tenga en cuenta que $\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}+1$

La integral se convierte entonces en $\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{10}}\int_{0}^{5+\sqrt{5}}\frac{du}{\sqrt{u}}$

Esto es igual a $\displaystyle \frac{2\pi\sqrt{u}}{\sqrt{10}}\Bigg|^{5+\sqrt{5}}_{0}=\frac{2\pi\sqrt{5+\sqrt{5}}}{\sqrt{10}}\approx 5.34$

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Behrouz Maleki Puntos 769

$u=\sqrt{x}$, tenemos $$ \int_{0}^{5} \frac{\pi(1+\frac{1}{2\sqrt{x}} )}{\sqrt{10}\sqrt{\sqrt{x}+x}} \,\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{\sqrt{10}}\int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{2u+1} {\sqrt{u+u^2}}du=\frac{2\pi}{\sqrt{10}}\sqrt{u^2+u}\Big{|}_{0}^{\sqrt{5}} $$

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