La estimación de la función Gamma de alta precisión de forma eficiente?

Question

Sé que hay varias aproximaciones de la función Gamma que proporcionan decente aproximaciones de esta función.

Me preguntaba, ¿cómo puedo estimar eficientemente los valores específicos de la función Gamma, como $\Gamma (\frac{1}{3})$ o $\Gamma (\frac{1}{4})$, a un alto grado de exactitud (a diferencia de la aproximación de Stirling y otros de baja precisión de los métodos)?

Answer 1

Gourdon y Sebah páginas sobre "Números, constantes y computación" suelen ser muy interesante para este tipo de registro (inicio, haga clic en 'constantes' a la izquierda).

A los que hacen referencia Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo por haber calculado 10^10 dígitos de $\Gamma\left(\frac 14\right)$ $\Gamma\left(\frac 13\right)$ en 2010 y de 2009 (ver aquí). Muchos de los métodos de alta precisión están claramente expuestos en las otras páginas del primer enlace (FFT, binario división y este tipo de cosas debe ser explicado de manera sencilla, al menos en el .ps o .los archivos pdf).

Este papel de Alexander Yee sobre la alta precisión de la evaluación de $\pi$ contiene también referencias a Kondo & Pagliarulo del registro (él tiene una página de registros también, pero sin $\Gamma$ me temo).

En el caso especial $\Gamma\left(\frac k{24}\right)$ una ecuación cuadrática algoritmo que se propone en Weisstein la Función Gamma de la página (ver alrededor de (99)).
Este método es el famoso AGM método y usted puede encontrar también en la página 6 de Sebah y Gourdon del postscript papel en Gamma (o aquí) que : $$\displaystyle \Gamma\left(\frac 14\right)^2=\frac{(2\pi)^{3/2}}{AGM(\sqrt{2},1)}$$

Usted puede encontrar en el excelente libro de la Borweins "Pi" y la junta general de accionistas" de la siguiente derivación utilizando la integral elíptica completa de primera especie $\rm{K}$:

Con la esperanza de que ayudado de todos modos,

Answer 2

(Este es un apéndice del tipo Raymond de la respuesta, y una expansión de mi comentario allí).

Para algunas de las pequeñas argumentos racionales, Borwein Zucker y mostrar que la función gamma puede ser evaluado usando la integral elíptica completa de primera especie $K(m)$ (donde $m$ es el parámetro), evaluados en los llamados "valores propios". Puesto que la integral elíptica completa de primera especie puede ser evaluado usando cuadráticamente convergente aritmética-media geométrica,

$$K(m)=\frac{\pi}{2\mathrm{AGM}(1,\sqrt{1-m})}$$

también tenemos una manera rápida de evaluar la función gamma para aquellos particular argumentos racionales.

Dejar que los valores singulares se denota por a $k_r=\lambda^\ast(r)$ (donde $\lambda^\ast(r)$ es la elíptica función lambda), por ejemplo,

$$\begin{align*} k_1&=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ k_2&=\sqrt{2}-1\\ k_3&=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\\ k_4&=3-2\sqrt{2}\\ k_5&=\sqrt{\frac{1}{2}-\sqrt{\sqrt{5}-2}}\\ k_6&=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right) \end{align*}$$

tenemos por ejemplo las evaluaciones

$$\begin{align*} \Gamma\left(\frac13\right)&=\frac{2^{7/9}\pi^{1/3}}{3^{1/12}}(K(k_3^2))^{1/3}\\ \Gamma\left(\frac14\right)&=2\pi^{1/4}\sqrt{K(k_1^2)}\\ \Gamma\left(\frac16\right)&=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt[3]{2}\sqrt{\pi}}\left(\Gamma\left(\frac13\right)\right)^2\\ \Gamma\left(\frac18\right)\Gamma\left(\frac38\right)&=\sqrt{\sqrt{2}-1}\sqrt{\pi}2^{13/4}K(k_2^2)\\ \frac{\Gamma\left(\frac18\right)}{\Gamma\left(\frac38\right)}&=\frac{2\sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{\pi}}\sqrt{K(k_1^2)} \end{align*}$$

Ver el Borwein/Zucker papel para obtener más detalles.

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Con respecto a la de Lanczos aproximación mencionado por Rory en su respuesta, Paul Godfrey presenta una breve nota sobre cómo derivar la aproximación que es algo más sencillo que el original de la derivación por parte de Lanczos.

Para otros métodos, consulte este documento por Schmelzer y Trefethen, y de esta página web por Pedro Luschny.

Answer 3

No estoy seguro de qué tipo de aproximación que usted necesita.

Has mirado en la Lanczos aproximación? Proporciona la técnica utilizada en el clásico libro de Recetas Numérica. Puede ser utilizado para calcular aproximaciones razonables para $\Gamma$ (8 decimales o así) incluso en dispositivos con recursos limitados, como el 12C calculadora financiera HP.