La maximización de la traza

Question

Decir que tengo el siguiente maximización.

$ max_R$ seguimiento $(RZ): R^TR = I_n$ donde $R$ $n$ x $n$ transformación ortogonal de vectores. También, el SVD de a $Z = USV^T$.

Estoy tratando de encontrar el óptimo $R^*$ que intuitivamente sé que es igual a $VU^T$ donde $trace$ $(RZ)$ $=$ $trace$ $(VU^T USV^T)$ $=$ $trace(S)$. Sé que este es el max ya que es la suma de todos los valores singulares de a $Z$. Sin embargo, estoy teniendo problemas para subir con una prueba matemática justificar mi intuición. Los pensamientos?

Answer 1

Deje $A=\sqrt{S}$, y equipar el espacio de $n\times n$ real de las matrices con las habituales Euclidiana producto escalar. Entonces $$\hbox{Tr}(RZ)= \hbox{Tr}(RUA^2V^T)=\hbox{Tr}((RUA)(VA)^T)=\langle RUA,VA\rangle$$ Por el Cauchy-Schwarz desigualdad, obtenemos $$\hbox{Tr}(RZ)\leq \Vert RUA \Vert_2 \Vert VA \Vert_2= \Vert \Vert_2 \Vert \Vert_2 =\hbox{Tr}(AA^T)=\hbox{Tr}(S)$$ donde hemos utilizado la invariancia de las $\Vert \cdot \Vert_2 $ bajo transformaciones ortogonales. el recíproco de la desigualdad, se ha demostrado mediante la elección de $R=VU^T$, y hemos terminado.