Uno de los pilares del punto de división técnica del cálculo de quirales anomalía (Peskin y Schroeder, 19.1, p.655) es simétrica límite de $\epsilon \rightarrow 0$. Y este es el punto que yo no entiendo. Es realmente posible para tomar tal límite? Por ejemplo, considere la expresión $$ \text{symm}\,\text{lim}_{\epsilon \rightarrow 0} \Bigl\{\frac{\epsilon^{\mu}\epsilon^{\nu}}{\epsilon^2}\Bigr\} = \frac{g^{\mu \nu}}{d} \etiqueta{19.23} $$ en $d=2$ dimensiones de espacio-tiempo. Deje $\mu = \nu = 0$. Entonces $$ \frac{\epsilon^{0}\epsilon^{0}}{\epsilon^2} = \frac{1}{1-(\frac{\epsilon^1}{\epsilon^0})^2} $$ Pero esta última expresión sea mayor que 1 o menor que 0, entonces no puede ser igual a $\frac{g^{00}}{2} = \frac{1}{2}$.
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Stefano
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El simétrica límite (19.23)
$$S^{\mu\nu}~:=~ \text{symm}\,\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{\frac{\epsilon^{\mu}\epsilon^{\nu}}{\epsilon^2}\right\}, \qquad \epsilon^2~:=~\epsilon^{\mu}g_{\mu\nu}\epsilon^{\nu},$$ debe ser pensado como una regularización de la prescripción. Es parte de un simétrico del punto de división esquema de regularización, cf. Ref. 1. La tradicional noción de límite $$\lim_{\epsilon \rightarrow 0} \left\{\frac{\epsilon^{\mu}\epsilon^{\nu}}{\epsilon^2}\right\}$$ ¿ no existe. La receta $$S^{\mu\nu}~:=~\frac{g^{\mu\nu}}{d}$$ es motivado por tres cosas:
La receta de $S^{\mu\nu}$ puede depender sólo de la métrica.
$S^{\mu\nu}$ debe ser de un (2,0) tensor wrt. Transformaciones de lorenz.
En el caso de contratar $S^{\mu\nu}$$g_{\mu\nu}$, el resultado debería ser $1$.
Referencias:
- M. E. Peskin & D. V. Schroeder, Una Introducción a la QFT; la Sección 19.1, p. 655.
