Derivada del Cálculo-Encontrar constantes desconocidas

Question

Encuentre todos los valores de $k$ y $l$ tal que $$\lim_{x \to 0} \frac{k+\cos(lx)}{x^2}=-4.$$

Cualquier ayuda sobre cómo hacer esto sería muy apreciada.

Answer 1

(Sin involucrar la notación big O). El límite del denominador va a cero y el numerador va a $k+1$ como $x\rightarrow 0$ . Dado que el límite existe, $k+1=0$ y por lo tanto $k=-1$ . Entonces, aplicando Regla L-H ( ya que tenemos $\frac{0}{0}$ forma indeterminada) obtenemos $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\ell\sin(\ell x)}{2x}$ que es igual a $\frac{-\ell^2}{2}$ . Por lo tanto, $-\frac{\ell^2}{2}=-4\Rightarrow \ell=2\sqrt{2}$ o $\ell=-2\sqrt{2}$ .

Answer 2

Tenemos $$ k+\cos(lx)=k+\left(1-\frac{l^2x^2}{2}+O\left(x^4\right)\right) $$ dividiendo por $x^2$ tenemos $$ \frac{k+\cos(lx)}{x^2}=\frac{k+1}{x^2}-\frac{l^2}{2}+O\left(x^2\right) $$ del que necesita $k=-1$ (o esto explota) y $l^2=8\implies l=\pm 2\sqrt{2}$ para obtener el valor deseado.

edit: sin big-O: Usando la definición de la serie para $\cos$ , $$ k+\cos(lx)=k+1-\frac{l^2x^2}{2}+\sum_{k=2}^\infty\frac{x^{2k}l^{2k}}{(2k)!}\\ \implies \frac{k+\cos(lx)}{x^2}=\frac{k+1}{x^2}-\frac{l^2}{2}+\sum_{k=2}^\infty\frac{x^{2k-2}l^{2k}}{(2k)!} $$ donde la serie de la derecha es $0$ cuando $x=0$ . Concluir como en el caso anterior.

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$\lim \frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$$

Y eso $$\frac{k+\cos(lx)}{x^2}=\frac{k+1}{x^2}-\frac{1-\cos(lx)}{x^2}$$

Así, $$k+1=0$$ y $$\frac{1}{2}l^2=4$$