Determinar cuánto tiempo una suma de $\frac{1}{n}$ es necesario para llegar a un límite

Question

Desde

$$ \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n {1 \over i} = \infty $$

debería ser posible encontrar la $n$ cuando la suma alcanza un número determinado.

Dado $c$ determinar $k$ donde

$$ \sum_{i=1}^k {1 \over i} < c \leq \sum_{i=1}^{k+1} {1 \over i} $$

Solución aproximada es también ACEPTAR si usted puede determinar si $k$ es par o impar.

Answer 1

Si $S_n = \sum_{i=1}^n 1/i$, $L(n) < S_n < U(n)$ donde $$ \eqalign{L(n) &= \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n} - \frac{1}{12 n^2}\cr U(n) &= \ln(n) + \gamma + \frac{1}{2n}\cr} $$

Ahora $U(x) = c$ $$x = -\dfrac{1}{2 W(-\exp(\gamma-c)/2)}$ $ donde $W$ es la función W de Lambert. Si $n = \lfloor x \rfloor$, ha $U(n) \le c \le U(n+1)$. La diferencia entre el $L(n+1)$ $U(n+1)$ solo $1/(12 (n+1)^2)$, mientras que la diferencia entre el $U(n)$ $U(n+1)$ es de aproximadamente $1/(n+1)$ , que es mucho más grande si $n$ es grande. Así que para "la mayoría" $c$, vas a también ha $c \le L(n+1)$, y por lo tanto $S_{n} < c < S_{n+1}$. Pero si tienes la mala suerte de que $c > L(n+1)$, todo lo que tienes es $L(n+1) < c < U(n+1)$. Usted podría tratar de una mejor aproximación.

Por ejemplo, con $c = 10$, me sale $x \approx 12366.46810$ $n = 12366$ , e $L(12367) \approx 10.00004301 > c$, por lo $S_{12366} < 10 < S_{12367}$.