Ese es el límite!

Question

el límite de $$f(x,y) = \frac{x}{\sqrt y}$$ como $(x,y) \rightarrow (0,0)$?

Me he acercado al origen a través de diferentes rutas y han llegado a la conclusión de que el límite existe. Yo no puedo probarlo.

Podría alguien darme un codazo. No es la respuesta.

Answer 1

Que no existe. Considere por ejemplo,$(x_n, y_n)=(0, 1/n)$$(x_n, y_n)=(1/n, 1/n^2)$.

Answer 2

Tomar $$ r_n = (x_n, y_n) = (c/n, 1/n^2) \quad (c \in \mathbb{R}) $$ entonces $$ \lim_{n\to\infty} r_n = 0 $$ y $$ f(r_n) = \frac{c}{n}\frac{\sqrt{n^2}}{1} = c $$ así que usted puede lograr cualquier valor real $$ \lim_{n\to\infty} f(r_n) = c $$ dependiendo de su enfoque hacia la $0$. Para tener "un límite" requiere de la singularidad.

Answer 3

Una cosa importante a destacar es para un multivariante límite para existir debe existir y ser la misma para todos los posibles caminos. Otras personas que ya han demostrado por qué ese no es el caso concreto de esta diversión.