¿Cómo entender eso?

Question

Estoy estudiando los haces de fibras y estoy un poco confundido en cómo la Estructura de los Grupos aparece. La definición de haz de fibras que tengo es la siguiente:

Un paquete es una tupla $(E,B,\pi)$ donde $E,B$ son espacios topológicos y $\pi: E\to B$ es un continuo surjection.

Un haz de fibras es una tupla $(E,B,\pi,F)$ donde $(E,B,\pi)$ es un paquete y $F$ es un espacio topológico tal que hay una apertura de la tapa $\{U_\alpha\}$ $B$ junto con homeomorphisms $\varphi_\alpha : \pi^{-1}(U_\alpha)\to U_\alpha\times F$ con la propiedad de que si $\pi_1 : U_\alpha\times F\to U_\alpha$ es la proyección sobre el primer factor, a continuación,$\pi_1\circ\varphi_\alpha = \pi$.

Eso está perfectamente bien, pero luego uno se da cuenta del siguiente: si $\varphi_\alpha(p) = (\pi(p), \tilde{\varphi}_\alpha(p))$$\tilde{\varphi}_\alpha : \pi^{-1}(U_\alpha)\to F$. A continuación, para cada una de las $p \in U_\alpha$ podemos considerar $\tilde{\varphi}_{\alpha, p} = \tilde{\varphi}_\alpha |\pi^{-1}(p)$ y muestran que esta asignación es un homeomorphism de $\pi^{-1}(p)$ a $F$.

Si $U_\alpha\cap U_\beta$ es no-vacío, tenemos $\varphi_\alpha$$\varphi_\beta$, y por lo tanto para cada una de las $p\in U_\alpha\cap U_\beta$ dos homeomorphism $\tilde{\varphi}_{\alpha, p}, \tilde{\varphi}_{\beta, p} : \pi^{-1}(p)\to F$ y por lo tanto podemos formar la asignación de

$$g_{\alpha\beta}(p) = \tilde{\varphi}_{\alpha, p}\circ \tilde{\varphi}_{\beta, p}$$

que es un homeomorphism de $F$. Eso está bien, pero el libro que estoy leyendo dice que estos mapas son realmente importantes, en el sentido que ellos le dan a la estructura de la haz de fibras, como el giro de la banda de Möebius. Ese es el primer problema: ¿cómo puedo ver estos mapas dan a la estructura de la fibra paquete? Yo realmente no puede darse cuenta de la importancia de los cambios de la banalización.

Segundo, el libro presenta en un poco de manera confusa la "Estructura de Grupo". En principio parece que cuando queremos mostrar algo que es un paquete, la Estructura de Grupo debe venir con ella. Como, $TM$ el haz de fibras de $M$$GL(n,\mathbb{R})$, pero, a continuación, el libro habla de una manera que parece que la Estructura del Grupo está realmente determinada por aquellos transición de las funciones de sólo. El libro dice: "si la estructura de grupo tiene un elemento el haz de fibras es trivial". Eso está bien, pero entonces no tiene sentido más que recoger algo como $GL(n,\mathbb{R})$ desde que el grupo va a provenir de la como banalizaciones sí mismos.

Así que mis preguntas son realmente:

1. ¿Cuál es la real importancia de la transición de las funciones? Cómo entender intuitivamente?

2. Lo que realmente es la estructura de grupo? Qué es lo que realmente significaba para representar y ¿de dónde viene realmente?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

La primera cosa a hacer es calcular algunos de los mapas de transición. Un punto donde la banda de Möbius giros tiene una transición mapa que es la multiplicación por un elemento negativo de $\mathbb{R}$. Para ver esto, basta con escribir una banalización a través de dos gráficos.

Esto conduce al hecho de que un paquete es trivial, es decir, homeomórficos para el producto Cartesiano de la base y de la fibra, si y sólo si su estructura de grupo "puede ser reducido a la trivial grupo." Si usted no ha encontrado paquete de mapas sin embargo, basta pensar en la asustar a la citada frase como refleja el hecho de que los mapas de transición para un trivial paquete como la banda de Möbius no puede ser la identidad, o incluso ser todos positivos.

Es, de hecho, un poco de niebla importa si la estructura de grupo debe ser entregado como parte de la estructura del paquete o si es algo contados a partir de la estructura. En este último enfoque, se dice que la estructura de grupo de un vector paquete como $TM$ tiene que estar contenida en $GL(V)$, pero no es igual; en el antiguo enfoque de la transición de las funciones toman valores en la estructura de grupo, pero no hay que tomar de cada elemento de ese grupo. No es conceptualmente una distinción importante.