¿Por qué los pasos elementales de eliminación parecen fallar para un sistema de ecuaciones con cada término de grado 2?

Question

Me disculpo de antemano si este es irritante debido a su simplicidad - yo sólo lo han hecho de Matemáticas de secundaria.
Dado:
(1) $(a+1)^2$ = $(b+2)^2$+$(c+3)^2$
(2) $(a+3)^2$ = $(b+1)^2$+$(c+2)^2$
(3) $(a+4)^2$ = $(b+3)^2$+$(c+1)^2$
(4) $(a+2)^2$ = $(b+4)^2$+$(c+4)^2$

Restando los pares de ecuaciones:
$(2)-(1)=(5)$-->$4a+8 = -2b-3 + -2c-5$
$(3)-(2)=(6)$-->$2a+7 = 4b+8 + -2c-3$
$(4)-(3)=(7)$-->$-4a-12 = 2b+7 + 6c + 15$

Sobre la simplificación es:
$$\begin{align}2a+b+c&= -8 \\ a-2b+c &= -1 \\ -2a-b-3c &= 17 \\ \end{align} $$

Que, cuando se resuelve, se tiene:
$a=-0.7$
$b=-2.1$
$c=-4.5$

A menos de que he cometido un error de cálculo, ninguno de estos valores a la hora de volver a ponerla en (1), (2), (3), o (4) los resultados en una afirmación correcta. Sin embargo, aparte de una sensación general de que la existencia de grado 2 términos invalida alguna parte del razonamiento, o el hecho de que el sistema está sobredeterminada, no puedo precisar lo que paso es falso o contiene una suposición incorrecta. ¿Alguien puede arrojar luz sobre esto para mí? Alternativamente, si alguien tiene un método para resolver ecuaciones de (1),(2),(3) sin overdetermining (4) podría explicar que o me apunte en la dirección de una explicación.

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Edit: Para cualquier persona interesada en el específico trabajado solución, he seguido Ted consejo (después de aprender acerca de las soluciones generales aquíy miraba a resolver (1), (2), (3) con el resultado:
$$\begin{align} a&=-3.4 -0.6t\\ b&=-1.2 +0.2t \\ c&=t\\ \end{align} $$
La sustitución de estos en la ecuación (1) arrojó $0.68t^2 +3.44t + 3.88$

Esta ecuación cuadrática se apareció dos veces más después de la sustitución en (2) y (3) respectivamente (reunión de los criterios que la(s) solución para t ser común a las tres si las soluciones para a,b,c se encuentran).

Mediante el ordinario de la fórmula cuadrática, las dos soluciones para el parámetro t, por tanto, eran: $t = \frac{-43}{17}+\frac{25}{34}\sqrt{1.28} \approx -1.698$ o $t = \frac{-43}{17}-\frac{25}{34}\sqrt{1.28} \approx -3.361$

Finalmente, el uso de esas aproximaciones,
$a \approx -2.381 $ o $a \approx -1.383$
$b \approx -1.540 $ o $b \approx -1.872$ y
$c \approx -1.698$ o $c \approx -3.361$

Para la confirmación, me re-sustituido resultados correspondientes para a,b,c en las ecuaciones originales (1), (2) y (3). Esto generó tres afirmación correcta con LHS = RHS.

Gracias a Ted y a cualquier otra persona que considera este.
Espero que este post sea útil para alguien más.

Answer 1

El hecho de que el sistema está sobredeterminada es todo el problema. No tiene nada que ver con el hecho de que las ecuaciones tienen grado 2. Lo mismo puede suceder con un sobredeterminada sistema lineal. Vamos a tomar un aún más simple ejemplo, con sólo 2 variables y 3 ecuaciones:

$$x+y=0, x-y = 0, x+2y=1$$

Ahora proceder como lo hizo anteriormente, si añadimos las 2 primeras ecuaciones obtenemos $x=0$, y si le restamos a la tercera ecuación a partir de la segunda, obtenemos $y=1/3$. Ahora conecte estos valores en el sistema original. Nada funciona. El sistema fue sobredeterminada y no había ninguna razón para esperar una solución.

Si usted sólo quiere resolver sus ecuaciones originales (1), (2), (3) (sin overdetermining (4)), se puede proceder como lo hizo anteriormente, para terminar con un sistema lineal de 2 ecuaciones con 3 variables. Usted puede resolver este sistema lineal; la solución general del sistema lineal dará $a$, $b$, $c$ en términos de un único parámetro $t$. A continuación, conecte estas expresiones para $a$, $b$, $c$ en términos de $t$ en el original de 3 ecuaciones, la obtención de 3 ecuaciones de segundo grado en $t$. Si hay un valor (o valores) de $t$ que soluciona todos 3 ecuaciones cuadráticas, entonces usted puede conseguir soluciones para $a$, $b$, $c$ utilizando el valor común de la(s)$t$. Si no hay ningún valor común de $t$, entonces no hay solución.