Encontrar una transformación lineal tal que $S^2 = T$ (caso general)

Question

Supongamos que una transformación lineal $T:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3$, $T\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\ y+z\\ z+x \end{pmatrix}$ (sólo un ejemplo).

¿Cómo puedo encontrar una transformación lineal de S tal que $S^2=S\circ S=T$?

es parte de un curso de álgebra lineal básica. Agradecería una respuesta general (no específica para el ejemplo de arriba). Iv'e ya intentado de varias maneras, no logran llegar a algún lugar..

Gracias.

EDIT: La respuesta debe estar basado sólo en básicos de matrices y transformaciones lineales material, no Diagonalización y valores propios

Answer 1

En primer lugar vamos a forman una base del espacio para su transformación lineal. En orden a ello, la forma de sus valores a través de los vectores normales a $e_1,e_2,e_3$ desde su transformación lineal $T$ "vive" en $\mathbb R^3$ (base de vectores pueden estar sujetas a cambios dependiendo de la definición de la transformación) :

$$T(e_1) = (1,0,1)$$

$$T(e_2) = (1,1,0)$$

$$T(e_3) = (0,1,1)$$

Esto significa que una base del espacio de la matriz para su transformación lineal $T$ es la matriz :

$$\mathbb{T} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix}$$

En el caso de una transformación lineal $S : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ tal que $S \circ S = S^2 = T$, esto significa que la base de la matriz de $S^2$ debe ser el mismo que el de $T$.

Deje $S$ ser la transformación lineal :

$$S(x,y,z) = (a_1x +b_1y+c_1z, a_2x+b_2y+c_2z,a_3x+b_3y+c_3y)$$

Sustituyendo "en" el lado derecho y la búsqueda de la expresión de $S\circ S= S^2$, luego de la demanda que :

$$(S\circ S)(e_1) = (1,0,1)$$

$$(S\circ S)(e_2) = (1,1,0)$$

$$(S\circ S)(e_3) = (0,1,1)$$

$$\mathbb S^2 = \mathbb T$$

Este es un método de fuerza bruta y sin duda requiere un montón de trabajo.

La norma y la recta manera de aproximarse a este, es por autovalor aproximación de la transformación lineal de la matriz $\mathbb T$. Luego, simplemente, encontrar los autovalores (si $T$ es diagonalizable) por :

$$\det(\mathbb T-\lambda I)=0 \Rightarrow \dots$$

y los vectores propios por :

$$\det(\mathbb T-\lambda_iI)v_i =0, \space \space \text{for} \space \space i=1,2,3$$

desde su matriz es una $3$-dimensional. A continuación, será diagonalized como :

$$\mathbb T = JVJ^{-1}$$

y es elemental demostrado que :

$$\mathbb T^{1/2} = JV^{1/2}J^{-1}=\mathbb S^2$$

Nota : en este caso En particular los valores propios son números complejos, lo que significa que no hay problemas.

Answer 2

S es lineal de $R^{3}$$R^{3}$. así $S(x)= AX+B$, $A $ es 3 por 3 matriz y B es un vector constante en $R^{3}$. el mismo para T, entonces tenemos:

$$S(x)=Ax+B$$ $$T(x)=Cx+D$$

$$SoS=T$$ $$A(Ax+B)+B=Cx+D$$ $$A^{2}x+AB+B=Cx+D$$ $$A^{2}=C$$

$$AB+B=D$$ $$(A+I)B=D$$

Ahora usted tiene que tener T, i.e C y D para resolver las ecuaciones

Answer 3

En general, no hay ningún ejemplo de la matriz (o transformación).

Por qué?

1. Debido a que cada transformación lineal en un espacio de 3 dimensiones tiene una representación como una matriz de transformación con respecto a la norma base, y

2. Porque hay una función llamada "det" (por "determinante") con la propiedad de que para cualquier par de matrices cuadradas del mismo tamaño, $$ \det(AB) = \det(A) \det(B) $$

En su caso, que significa que $$ \det(T) = (\det S)^2. $$ Pero si el determinante de la matriz) $T$ es negativo (como lo es para la transformación de $(x, y, z) \mapsto (-x, -y, -z)$), luego de que no tiene la "raíz cuadrada".

Ahora, todo esto requiere la creencia de que tal función, det, realmente existe, y aprenderás que más adelante en el curso, espero. Pero por ahora, mi idea principal era para hacerle saber que estás en un wild goose chase, y puede dejar de hacerlo.

Answer 4

Aquí está una explícita contraejemplo:

Considere la posibilidad de la transformación lineal $T:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto -x$. Si $S:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $x \mapsto ax$ (para algunos $a \in \mathbb{R}$) es una transformación lineal de satisfacciones $S \circ S = T$,$-1 = T(1) = (S \circ S)(1) = a^2 \cdot 1$. Pero ya que estamos trabajando a través de los reales, no podemos tener a $a^2 = -1$. Así que en general, no podemos encontrar la transformación que está buscando.