Punto técnico sobre la convergencia con la expectativa condicional

Question

Tengo una secuencia de no negativo variables $X_n$ como: $$E(X_n|C_n)=\frac{C_n}{n^2}$$

donde $C_n$ es una secuencia de variables aleatorias que convergen casi con seguridad a $1$ .

Puedo concluir $X_n$ tiende a 0 casi con seguridad?

Nota: se puede sustituir $\frac{1}{n^2}$ por cualquier secuencia con suma finita. La pregunta sigue siendo esencialmente la misma y la respuesta proporcionada por Jason funciona igual (véase el argumento de Borel-Cantelli).

Answer 1

Sí, $X_{n} \to 0$ casi seguro. El argumento que tengo es un poco enrevesado, así que tened paciencia.

En primer lugar, considere los acontecimientos $F_{k} = \bigcup_{n \geq k} \{ C_{n} > 2 \}$ . Por la casi segura convergencia del $C_{n}$ se deduce que $P( \bigcap_{k} F_{k} ) = 0$ y como $F_{1} \supseteq F_{2} \supseteq \cdots$ tenemos $P(F_{k}) \to 0$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $X_{n} \to 0$ a.s. dentro de $F_{k}^{c}$ para cualquier $k$ .

Ahora, fija un $k$ y un $\varepsilon > 0$ . Utilizando la notación $E[X; A]$ para representar $E[X 1_{A}]$ tenemos para $n \geq k$ \begin{equation} E[X_{n} ; F_{k}^{c}] \leq E[X_{n} ; C_{n} \leq 2] = E[ E(X_{n} | C_{n}) ; C_{n} \leq 2] = E[ C_{n} / n^{2} ; C_{n} \leq 2 ] \leq 2 / n^{2}. \end{equation} Esta es la parte clave. (Obsérvese también que hemos utilizado la no negatividad de $X_{n}$ en el primer paso, para pasar de $F_{k}^{c}$ al evento más grande $C_{n} \leq 2$ .) A partir de aquí sólo necesitamos algunos argumentos teóricos de la medida bastante corrientes.

El límite anterior, junto con la no negatividad de $X_{n}$ implica que $P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) \leq \frac{2}{n^{2} \varepsilon}$ (para $n \geq k$ ), por lo que \begin{equation} \sum_{n \geq k} P(F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \}) < \infty. \end{equation}

Por el lema de Borel-Cantelli podemos decir ahora que el evento \begin{equation} F_{k}^{c} \cap \{ X_{n} > \varepsilon \, \text{for infinitely many $n$} \} \end{equation} tiene probabilidad cero. Como $\varepsilon$ era arbitrario, esto nos lleva $X_{n} \to 0$ a.s. en $F_{k}^{c}$ .

Answer 2

Establecer $Z_n=X_n/C_n$ . Entonces $E[Z_n]=1/n^2$ y $Z_n\ge 0$ . Por la desigualdad de Markov, $P(Z_n>\epsilon)\le E[Z_n]/\epsilon = 1/(n^2\epsilon)$ que tiene suma finita, así que por Borel Cantelli, $P(Z_n>\epsilon \text{ infinitely often})=0$ y $Z_n\to 0$ casi seguro.

Si $Z_n\to0$ casi seguro y $C_n\to 1$ casi seguramente entonces $X_n=Z_nC_n\to 0$ casi seguro.