Probabilidad de diferencia simétrica

Question

¿Cómo demostramos la siguiente desigualdad? $$\mathbb{P}[A\triangle B ]\geq \max\left \{ \mathbb{P}[A-B],\mathbb{P}[B-A] \right \}$$ Ya he demostrado que $$\mathbb{P}[A\triangle B ]=\mathbb{P}[A]+\mathbb{P}[B]-2\mathbb{P}[A\cap B]$$ $$\left | \mathbb{P}[A]-\mathbb{P}[B] \right |\leq \mathbb{P}[A\triangle B ]$$

Answer 1

Por lo tanto, $$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$$ $$P(B-A)=P(B)-P(B\cap A)$$ Usando estas ecuaciones, podemos reescribir la primera relación como $$P(A\triangle B)=P(A-B)+P(B-A)$$ Dado que las probabilidades son no negativas: $$P(A\triangle B)\ge\max(P(A-B),P(B-A))$$

Answer 2

Pista: Demuestra que $$P(A\Delta B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)$$

Por lo tanto, $P(A\Delta B)$ no es menor que $P(A\setminus B)$ y no es menor que $P(B\setminus A)$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $$A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$$ por lo tanto $$(A\setminus B)\subseteq A\Delta B\quad \text{y}\quad (B\setminus A)\subseteq A\Delta B.$$ En particular $$P(A\setminus B)\leq P(A\Delta B) \quad \text{y} \quad P(B\setminus A)\leq P(A\Delta B)$$ por lo que $$\max\{ P(A\setminus B), P(B\setminus A) \} \leq P(A\Delta B)$$