Puede cualquier symplectomorphism (1 Definición de la canónica de transformación) ser representado por el flujo de un vectorfield?

Question

Para esta pregunta, voy a utilizar la definición canónica de la transformación es un mapa de $T(q,p)$ desde el espacio de fase en sí misma, en la que abandona la simpléctica 2-forma invariante (que es la definición de un symplectomorphism). Sé que si la topología del espacio de fase es allright (que significa que no hay agujeros, y cualquier camino cerrado puede ser atraído a un punto), entonces cualquier vectorfield $V(q,p)$, con un flujo de $F(q, p, \alpha)$ $\frac{\partial F}{\partial \alpha} = V(q,p)$ $F(q,p, 0) = (q, p)$ puede ser generado por una función en el espacio de fase.

Lo que me gustaría saber ahora es si cada symplectomorphism (no un flujo, sólo un symplectomorphism) $T(q,p)$ puede ser visto como un flujo, que significa, para cada T, me parece un flujo de $F$, de modo que $T(q,p) = F(q, p, \alpha)$ para un cierto valor de $ \alpha $.

Por ejemplo, tomar la symplectomorphism $T(q, p) = (p, -q)$. Me podría representar este symplectomorpohism con el Flujo de $$ F(q, p, \alpha) = (cos(\alpha) q + sin (\alpha) p , -sin(\alpha) q + cos (\alpha) p) $$ Entonces se podría sostener que el $F(q, p, \frac{\pi}{2}) = T(q, p)$. Es cierto que en general? puedo encontrar un flujo para cualquier symplectomorphism quiero mirar?

Yo no podía pensar en un contador de ejemplo, pero no sé cómo mostrar.

Answer 1

OP pide buenas preguntas.

Primero de todo, señalemos que hay un bijective correspondencia entre el parámetro 1- simpléctica de los flujos y el parámetro independiente de la$^1$ simpléctica campos vectoriales. Estos últimos son, por definición de campos vectoriales $X\in \Gamma(TM)$ que preservar la simpléctica 2-formulario de ${\cal L}_X\omega=0$.

OP es esencialmente hacer las siguientes (algunas de ellas en versiones anteriores de la pregunta).

1. Es el symplectomorphism grupo de trayectoria-conectado?

Respuesta: No necesariamente, podría ser topológico de obstrucciones.

2D contraejemplo: Dejar el espacio de fase $M=\mathbb{S}^2$ ser la 2-esfera equipado con la norma simpléctica 2-formulario de $\omega$. La segunda homotopy grupo $\pi_2(\mathbb{S}^2)\cong\mathbb{Z}$ no es trivial. $\Box$

2. Es cualquier symplectomorphism el 1-tiempo de un parámetro 1-simpléctica de flujo, es decir, es la exponencial $\exp(X)$ de un simpléctica campo de vectores $X$?

Respuesta: No necesariamente, podría ser topológico de obstrucciones.

Conjeturó 2D contraejemplo: Considerar el espacio de fase $M=\mathbb{R}^2$ con el simpléctica 2-formulario de $\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$. Considere la posibilidad de la transformación canónica

$$ \begin{bmatrix} Q \cr P \end{bmatrix} ~ = ~ \begin{bmatrix} q \cr p \end {Bmatrix}, \qquad Un~:=~\begin{bmatrix} -2 & 1\cr 3 & -2 \end{bmatrix}~\~Sp(2,\mathbb{R})~=~SL(2,\mathbb{R}). $$

Pretendemos que este symplectomorphism no puede ser generado por un simpléctica de flujo. Un testigo de la realidad es que la matriz de $A$ no tiene raíz cuadrada.

Otra pista es que este symplectomorphism sólo tiene el origen como un punto fijo. Esto significa que un simpléctica campo de vectores $X$ (para un flujo, si es que existe), pueden desaparecer en el origen.

Curiosamente, uno puede escribir en este symplectomorphism como una transformación canónica con un tipo-2 la generación de la función

$$F_2(q,P)~=~-\frac{1}{2}qP +\frac{3}{4}q^2 - \frac{1}{4}P^2. $$

Sin embargo, se conjetura que un parámetro 1-deformación de la identidad de $F_2(q,P)=qP$ siempre deben ir a través de un punto singular.

Ver también esta relacionada con las Matemáticas.SE post. $\Box$

3. Es cualquier simpléctica campo de vectores $X\in \Gamma(TM)$ un campo de vectores Hamiltoniano?

Respuesta: No necesariamente, podría ser topológico de obstrucciones. De hecho, esto se mide por la primera de Poisson cohomology grupo.

2D contraejemplo: Considerar el espacio de fase $M=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$ con el simpléctica 2-formulario de $\omega =\mathrm{d}p\wedge \mathrm{d}q$. Uno puede comprobar que el campo de vectores $$X=\frac{q}{q^2+p^2}\frac{\partial}{\partial q} +\frac{p}{q^2+p^2}\frac{\partial}{\partial p} $$ es simpléctica pero no un campo de vectores Hamiltoniano. El problema es que el candidato ${\rm arg}(q+ip)$ para el Hamiltoniano del generador es de varios valores, y por lo tanto no global bien definido.

Véase también, por ejemplo, esta y esta relacionado con Phys.SE postes. $\Box$

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$^1$ Nota de que existe una noción de flujo correspondiente a un parámetro dependiente de campo vectorial. No vamos a considerar en esta respuesta. Dichos flujos se utilizan, por ejemplo, en esta relacionado con MO.SE post.