Nota: En el post número me refiero número real. ¿Qué es una definición de la relación "mayor que" y "menos" ? La definición que vi en mi libro fue "$a>b$ si $a-b$ es un número positivo" y "$a<b$ si $a-b$ es un número negativo". Pero el problema con esta definición es el número de $a$ es positivo si $a>0$ y de igual manera, con número negativo y esta definición parece ser una especie de circular. Entonces, ¿cómo podemos definir a los "menos" y "más grande" ?
Respuestas
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Los axiomas de los números reales proporcionan una forma de resolver este problema. Los axiomas se divide en tres partes: el campo axiomas relativos a las propiedades algebraicas de las operaciones binarias $+$$\times$; y el fin de los axiomas que requieren de la existencia de un orden total $x<y$ la satisfacción de tres axiomas:
- si $x < y$ $x+z < y+z$ todos los $z$;
- si $0 < x$$0 < y$$0 < x \times y$.
- El axioma de completitud.
A continuación, puede definir los números positivos para todos los números, $x$ tal que $0<x$.
Por otro lado usted no tiene que estar satisfecho con el enfoque axiomático de los números reales ellos mismos, ya que los números reales pueden ser construidos a partir de los números racionales, que puede ser construido a partir de los números enteros, que pueden ser construidos a partir de los números naturales, los cuales satisfacen los Axiomas de Peano. Este es un largo de la historia, pero el punto más importante de tu pregunta es que en los Axiomas de Peano para los números naturales no es necesario siquiera se menciona el concepto de números positivos o negativos, pero por otro lado el fin de la relación en números naturales puede ser definido como esta (la suma y la multiplicación de haber sido ya definido):
- Dado números naturales $m,n$ definir $m < n$ si existe un número natural distinto de cero $k$ tal que $m+k=n$.
Una vez que la tarea se lleva a cabo, una incorpora los números naturales a los números enteros y define el orden de forma similar:
- Dado enteros $m,n$, definir $m<n$ si existe un número natural distinto de cero $k$ tal que $m+k=n$.
A continuación, una incorpora los enteros en los racionales y define el orden en los racionales:
- Dado racionales $r=\frac{a}{b}$, $s=\frac{c}{d}$ donde $a,c$ son enteros y $b,d$ son cero números naturales, definir $r < s$ si $ad<bc$.
Por último, una incorpora los racionales en los reales y define el orden en los reales:
- Dada reales $x \ne y$, definir $x < y$ si existen secuencias de Cauchy de números racionales $(r_n)$, $(s_n)$ la convergencia a la $x,y$ respectivamente, tal que $r_n < s_n$ todos los $n$.
Max
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Todo depende de cómo se defina los números reales. Lo importante es que se puede definir "positivo", sin referencia alguna a $<$.
En el Dedekind cortes de enfoque, donde un real es un par de $(A,B)$ de los subconjuntos de a $\mathbb{Q}$ tal que $A\sqcup B = \mathbb{Q}$$\forall a\in A, b \in B, a<b$, luego de un real $(A,B)$ dijo ser positiva si y sólo si existe $a\in A, a>0$ (tenga en cuenta que esta $>$ es el orden en $\mathbb{Q}$, por lo que no es circular).
En las secuencias de Cauchy, donde un real es una clase de equivalencia de secuencias de Cauchy en $\mathbb{Q}$ (la relación es de equivalencia inducida por el ideal de secuencias convergentes a $0$), luego de un real $[(q_n)]$ dijo ser positivo si no es $\epsilon >0$ (de nuevo, esto es en $\mathbb{Q}$ así que no hay circularidad aquí) y $n$ tal que $\forall k \geq n, q_k \geq \epsilon$ (de nuevo, en $\mathbb{Q}$). Uno fácilmente se comprueba que esta no depende de la elección de la representante de la clase $[(q_n)]$, y por lo tanto los rendimientos de una definición de sonido.
Por supuesto, hay otros enfoques para la definición de los números reales, y todos ellos vienen con diferentes maneras de definir la positividad.
Lo que importa es que el orden siempre viene de la orden de $\mathbb{Q}$, la cual ha sido definida antes, por lo que nunca es circular. Ahora uno podría preguntarse cómo el orden en $\mathbb{Q}$ está definido. Y una vez más, esto depende de la definición de $\mathbb{Q}$.
Por ejemplo, la definición de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Z}\times \mathbb{N}^*$ modulo de la equivalencia de la relación de $(a,b) \sim (c,d) \iff ad= bc$, entonces se puede decir que la clase de $(a,b)$ es positivo si y sólo si $a>0$ (esto es, en $\mathbb{Z}$, por lo que no circularidad aquí). Una vez más, se comprueba que este no depende de la representante, por lo que este es, de hecho, bien definido. Una vez que usted tiene la definición de la positividad puede definir un orden como se mencionó al principio de tu post.
Queda por definir un orden en $\mathbb{Z}$, y de igual manera esto se puede hacer sin circularidad utilizando el orden en $\mathbb{N}$ (por supuesto que también depende de la definición de $\mathbb{Z}$ uno está usando).
El último paso es definir un orden en $\mathbb{N}$. Obviamente, esto también depende de la definición de $\mathbb{N}$ , pero más generalmente se define como el primer ordinal infinito (existente debido a que el axioma de infinitud) y por lo que viene con un "natural" de hacer el pedido : $\in$. De hecho, en esta definición, $0 := \emptyset, 1:= \{0\}$ y, más en general, $n+1 := n\cup \{n\}$$n=\{0,1,...,n-1\}$, lo $<$ coincide con $\in$. Ahora $\in$ (pertenencia) es una noción primitiva en la teoría de conjuntos y así no nos definen.
Michael
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M. Winter
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fleablood
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Usted no puede.
Una orden de un conjunto de relaciones con el símbolo "$<$" de modo que 1) en la mayoría de uno de los siguientes es cierto: $a < b; b < a$ o $a=b$ cualquier $a,b$ en el conjunto. 2) si $a < b$$b < c$$a < c$.
Por ejemplo, para $\mathbb N$ podemos definir $a < b$ si $a$ es no trivial de varios de $b$. 1) Dada $a, b \in \mathbb N$ en la mayoría de las $a = b$ o $a = k*b; k > 1$ ( $a < b$ ) o $b = k*a; k > 1$ (por lo $b < a$). Sólo uno, o ninguno, de esos puede ser cierto. y si $a < b$$a = k*b$$b< c$$b = m*c$$a=(mk)*c$$a < c$.
....
Pero, para los que nos conocen y aman, se definen los racionales $\mathbb Q$ a ser un "pedido de campo", que significa:
Para cualquier $a,b\in \mathbb Q$ hay dos operaciones: la multiplicación y la adición de modo que $a+b \in \mathbb Q$$a*b\in \mathbb Q$.
A1) $a+b = b+a$.
A2) $(a+b) +c = a+(b+c)$.
A3) Hay un elemento llamado $0$, de modo que $a+0 =a$ todos los $a\in R$.
A4) Por cada $a$ hay un elemento llamado $-a$, de modo que $a + (-a) = (-a) + a = 0$.
M1) $ab = ba$
M2) $a(bc) = (ab)c$
M3) Hay un elemento llamado $1$, de modo que $a*1 = 1*a = a$ todos los $a$.
M4) Si $a \ne 0$, entonces hay un elemento llamado $\frac 1a$, de modo que $\frac 1a*a = a*\frac 1a = 1$.
D) $a(b+c) = (ab) + (ac)$
O1)Hay un total de "orden" para que de $a,b$ exactamente uno de los siguientes es verdadera: $a < b; b < a$ o $a=b$
O2) Si $a < b; b< c$$a< c$.
O3) Si $a<b$, entonces para cualquier $c$, $a + c < b+c$.
O4) Si $c > 0$$a < b$$ac < bc$.
Con esos axiomas podemos probar todo tipo de cosas, la mayoría de los pertainent ser:
Reclamo: $1 > 0$.
Pf: $1 \ne 0$ por lo tanto $1 > 0$ o $1 < 0$. Si $1 < 0$$0 < 1 +(-1) < 0 + (-1) = -1$. A continuación,$(-1)*(-1) > 0$.
Lema: $0*a = 0
Pf: $0*a = (0+0)*a = 0*a + 0*a$. Por lo $0 = 0*a + (-(0*a)) = 0*a + 0*a + (-(0*a)) = 0*a + 0 = 0*a$.
Lema: $(-1)*(-1) = 1$.
Prueba de $(-1)*(-1) + (-1)=(-1)*(-1) + 1*(-1) = (-1 + 1)(-1) = 0*(-1) = 0$
$ (-1)*(-1) =(-1)*(-1) + 0 = (-1)*(-1) + (-1) + 1 = (-1)*(-1) + 1*(-1) + 1 = (-1)(-1 + 1) + 1 = -1*0 + 1 = 0+1 = 1$.
Así que tenemos $(-1)*(-1) = 1 > 1$ lo cual es una contradicción.
Por lo $1 > 0$.
Desde allí se puede determinar que los números racionales son mayores que las de $0$ y los que no lo son.
