$$I=\int\frac{\sin x+\cos x}{\sin^2x+\cos^4x}\mathrm d x=?$$
Vi el problema relacionado con el pero eso no ayuda mucho. He tratado esta cuestión en dividir el numerador en $$I_1=\int\frac{\sin x}{\sin^2x+\cos^4x}\mathrm d x \text { and } I_2=\int\frac{\cos x}{\sin^2x+\cos^4x}\mathrm d x$$
Para $I_1$, me la $t=\sin x$ y la resolvió de la manera sencilla. Para $I_2$, me la $t=\cos x$ y otra vez resuelto el modo sencillo.
Mi método se puso extremadamente extensa en la final, mientras que la pregunta se supone estar decentemente bien. La respuesta que mi libro que tengo es:
$$I=\frac 1{2\sqrt3}\ln\left|\frac{\sqrt3+t}{\sqrt3-t}\right|+\arctan t+C$$
para $t=\sin x-\cos x$. No tengo absolutamente ninguna idea de cómo llegar a un resultado fácil.
Respuestas
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Dr. MV
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Aquí es un boceto sólo lo que debe facilitar que conduce a la codiciada resultado. Para ello, vamos a proceder.
En primer lugar, señalar que
$$\sin^2(x)+\cos^4(x)=\cos^2(x)+\sin^4(x)$$
podemos escribir
$$\begin{align} \int\frac{\sin(x)+\cos(x)}{\sin^2(x)+\cos^4(x)}\,dx&=\int \frac{\cos(x)}{1-\sin^2(x)+\sin^4(x)}\,dx+\int \frac{\sin(x)}{1-\cos^2(x)+\cos^4(x)}\,dx\\\\ &=\left.\left(\int \frac1{v^4-v^2+1}\,dv\right)\right|_{u=\sin(x)}-\left.\left(\int \frac1{u^4-u^2+1}\,du\right)\right|_{u=\cos(x)} \end{align}$$
A continuación, use parcial fracción de expansión para escribir
$$\begin{align} \frac{1}{x^4-x^2+1}&=\frac{1}{(x^2+\sqrt 3 x +1)(x^2-\sqrt 3 x+1)}\\\\ &=\frac{1}{2\sqrt3}\left(\frac{x+\sqrt3}{x^2+\sqrt 3x+1}-\frac{x-\sqrt3}{x^2-\sqrt 3x+1}\right)\\\\ &=\frac{1}{2\sqrt3}\left(\frac{x+\sqrt3/2-\sqrt3/2}{x^2+\sqrt 3x+1}-\frac{x-\sqrt3/2-\sqrt3/2}{x^2-\sqrt 3x+1}\right)\\\\ &=\frac{1}{4\sqrt3}\left(\frac{2x+\sqrt3}{x^2+\sqrt 3x+1}-\frac{2x-\sqrt3}{x^2-\sqrt 3x+1}\right)\\\\ &+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x^2+\sqrt 3x+1}-\frac{1}{x^2-\sqrt 3x+1}\right)\tag1 \end{align}$$
Para terminar, se observa que los dos primeros términos en el lado derecho de la $(1)$ son perfectos diferenciales y la integración conduce a logaritmo de los términos. La integración de los dos últimos términos llevar a arcotangente términos.
Esta forma de avanzar no es bonito, pero es efectivo y manejable.
David Quinn
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7591
Si usted desea hacer esto de la manera que se sugiere el uso de $t=\sin x-\cos x$:
A continuación, $$t^2=s^2-2sc+c^2\implies 4sc=2-2t^2$$ También, $$t^4=1-4sc+4s^2c^2$$
Para poner estos resultados en conjunto da $$4s^2c^2=t^4-2t^2+1$$
Mientras tanto, el denominador del integrando es $$s^2+c^4=s^2+c^2-s^2c^2=1-s^2c^2$$ $$=\frac 34+\frac 12t^2-\frac 14t^4$$
El numerador es sólo $dt$, así que terminamos con $$I=\int\frac{4dt}{3+2t^2-t^4}$$ $$=\int\frac{4dt}{(1+t^2)(3-t^2)}$$
Esto es muy fácil de descomponer en $$\int\frac{1}{t^2+1}+\frac{1}{3-t^2}dt$$
El resultado esperado se sigue inmediatamente.
lemniscate21
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Puesto que usted ha proporcionado la sugerencia en la respuesta $t = \sin x - \cos x$, vamos a usar eso. Por lo tanto, $\mathrm{d}t= (\cos x+\sin x)\mathrm{d}x$ que ya está presente en el numerador, así que no hay problemas allí.
$t^2 = \sin^2x +\cos^2x -\sin2x$
$t^2 = 1 - \sin2x$
por lo tanto $\sin2x = 1- t^2$
En el denominador sumar y restar $\cos^2x$ $\implies\sin^2x + \cos^2x -\cos^2x + \cos^4x\implies1 - \cos^2x\sin^2x$
El denominador se reducen a $1 - \sin^2x\cos^2x=1 - \sin^22x/4$
Romper el denominador como: $\frac{1}{(1-\sin2x/2)(1+\sin2x/2)}$
ahora pon $\sin2x = 1 - t^2$
Ahora si usted se siente cómodo con parciales de fracciones el resto debe ser bastante fácil! Ahora se puede integrar con respecto a $\mathrm{d}t$.
