Cualquier valor distinto de cero el polinomio puede ser convenientemente modificado para convertirse en todas partes distinto de cero en ${\mathbb Z}^n$?

Question

Si tenemos una "gradual" de la secuencia de polinomios $g_1\in {\mathbb C}(x_1),g_2\in {\mathbb C}(x_1,x_2),g_3\in {\mathbb C}(x_1,x_2,x_3) \ldots, g_n\in {\mathbb C}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ tal que $g_i$ no es constante en $x_i$ por cada $i$, lo que yo llamo el mapa $f : {\mathbb C}^n \to {\mathbb C}^n$ definido por

$$ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=(g_1(x_1),g_2(x_1,x_2),\ldots,g_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)) $$

un indicador de la transformación. Para cualquier polinomio $P\in {\mathbb C}(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, uno puede componer $P$ $f$ para obtener otro polinomio que me denotar por $P\circ f$ :

$$ P\circ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)= P(g_1(x_1),g_2(x_1,x_2),\ldots,g_n(x_1,x_2,\ldots,x_n)) $$

Dado un polinomio distinto de cero $P$, podemos encontrar siempre un indicador de la transformación $f$ tal que $P\circ f$ no tiene ceros en ${\mathbb Z}^n$ ?

Esto es claramente cierto para $n=1$, porque en ese caso los ceros de $P$ son acotadas en un intervalo $[-M,M]$ y podemos tomar $g_1(x_1)=M(1+x_1^2)$.

Answer 1

Vamos a demostrar que no es siempre posible.

Tomar el polinomio $P$ y escribo como

$$ \sum_r x_n^r P_r(x_1, \dots, x_{n-1}) $$

para polinomios $P_0, \dots, P_k$ no todos cero. El lineal dependencias entre las $P_r$ $\mathbb{C}[x_1, \dots, x_{n-1}]$ forma lineal subespacio de $\mathbb{C}^{k+1}$, cuya intersección con el conjunto $\{(1, t, \dots, t^k): t \in \mathbb{R}\}$ es finito. En particular, podemos optar $a_n \in \mathbb{R}$ tal de que no hay solución $t$ se encuentra en $\mathbb{Z}+a_n$. La aplicación de la bandera de transformación de $x_n \mapsto x_n + a_n$, obtenemos que $P(x_1, \dots, x_{n-1}, m)\neq 0$ $\mathbb{C}[x_1, \dots, x_{n-1}]$ todos los $m\in \mathbb{Z}$.

Ahora, para cada valor fijo de $m$ se le puede aplicar el mismo argumento a obtener un número finito de valores de $t$ que $P(x_1, \dots, x_{n-2}, t, m)=0$$\mathbb{C}[x_1, \dots, x_{n-2}]$. Tomando la unión a lo largo de $m$, tenemos una contables de la colección de 'mala' $t$ valores. Ahora podemos aplicar una traducción en $x_{n-1}$ hacer estas malas valores no enteros.

Seguir de forma iterativa para obtener un indicador de la transformación (de hecho, una traducción), que empuja a todos los ceros de $P$ de descuento en el entero de celosía.