Deje $f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$ ser una función dos veces diferenciable con segunda derivada continua y $f(1)=f(0)$. La desigualdad: $$\int_{0}^{1}(f''(x))^2dx\geq 120\left(\int_{0}^{1}xf'(x)dx\right)^2$$ se mantiene?
Respuesta
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Anthony Shaw
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Vamos $$ A=\int_0^1xf'(x)\,\mathrm{d}x\etiqueta{1} $$ Desde $f(0)=f(1)$, tenemos $$ \int_0^1f'(x)\,\mathrm{d}x=0\etiqueta{2} $$ $(1)$, $(2)$, y la integración por partes da $$ \begin{align} 2A &=\int_0^1(2x-1)f'(x)\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1f'(x)\,\mathrm{d}x(x-1)\\ &=\int_0^1x(1-x)f''(x)\,\mathrm{d}x\tag{3} \end{align} $$ Aplicar Hölder a $(3)$: $$ \begin{align} 4A^2 &\le\int_0^1[x(1-x)]^2\,\mathrm{d}x\int_0^1f''(x)^2\,\mathrm{d}x\\ &=\frac1{30}\int_0^1f''(x)^2\,\mathrm{d}x\tag{4} \end{align} $$ Conectar $(1)$ a $(4)$ rendimientos $$ 120\left(\int_0^1xf'(x)\,\mathrm{d}x\right)^2\le\int_0^1"(x)^2\,\mathrm{d}x\etiqueta{5} $$
El uso de $f(x)=x(1-x)(1+x(1-x))$, podemos ver que $(5)$ es nítida: ambos lados de la igualdad de $\dfrac{24}{5}$.
