Esos son ejemplos de palíndromos o anti-palindrómicas polinomios (llamaré pal y pal respectivamente [y (a)pal, para uno que es] en esta respuesta). La matriz identidad de orden $n$ ha polinomio característico $(x - 1)^n$, cuya expansión se ha coeficientes binomiales, que son simétricas. Esto hace evidente el por qué de su polinomio característico es (a)pal.
Ahora, más en general, un polinomio es (a)pal iff todas sus raíces son multiplicatively simétrica alrededor de $1$. Es decir, para cada raíz $\lambda$ de un polinomio que es (un)pal, $\dfrac 1 \lambda$ es también una raíz.
Uno obvio y simple implicación de esto es que el cero no puede ser nunca una raíz, y cualquier matriz $A$ a (a)pal polinomio característico es, por tanto, no singular. Desde los autovalores de la matriz inversa $A^{-1}$ son exactamente los recíprocos de los valores propios de a $A$, esto también implica que $A$ $A^{-1}$ tienen el mismo espectro.
Podemos hacer algo mejor que esto.
Teorema de
Una matriz cuadrada con entradas de un algebraicamente cerrado de campo (a)pal polinomio característico si y sólo si es similar a su inverso.
Prueba: Vamos a $A$ ser una matriz con (a)pal polinomio característico, y deje $$J = P^{-1}AP = \operatorname{diag}(J_1, \ldots, J_p)$$
ser su forma normal de Jordan. Cada bloque de $J_k$ es de la forma
\begin{equation*}
J_k = \begin{bmatrix}
\lambda_k & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \lambda_k & 1 & \cdots & 0\\
0 & 0 & \lambda_k & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda_k
\end{bmatrix}.
\end{ecuación*}
Sabemos que $A^{-1}$ tiene forma normal de Jordan $J^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$ donde $J^{-1} = \operatorname{diag}(J_1^{-1}, \ldots, J_p^{-1})$, y cada bloque de $J_k^{-1}$ es de la forma
\begin{equation*}
J_k^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac 1 {\lambda_k} & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & \frac 1 {\lambda_k} & 1 & \cdots & 0\\
0 & 0 & \frac 1 {\lambda_k} & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \frac 1 {\lambda_k}
\end{bmatrix},
\end{ecuación*}
y tiene el mismo tamaño como $J_k$. Sin embargo, como el polinomio característico de a $A$ (a)pal, $J_k^{-1} = J_l$, para algunas de las $l$ (y, por tanto,$J_l^{-1} = J_k$). Por lo tanto, $J$ $J^{-1}$ difieren sólo por un reordenamiento de los bloques de $J_1, \ldots, J_p$, y por lo tanto son similares. Específicamente, existe una matriz de permutación $Q$ tal que $J^{-1} = QJQ^{-1}$ (véase la nota más abajo). Entonces
\begin{equation*}
A^{-1} = PJ^{-1}P^{-1} = P(QJQ^{-1})P^{-1} = (PQP^{-1})(PJP^{-1})(PQP^{-1})^{-1} = RAR^{-1},
\end{ecuación*}
donde $R = PQP^{-1}$. Por lo tanto, si $A$ (a)pal polinomio característico, es similar a la de su inversa.
A la inversa se sigue inmediatamente por la observación de que similares matrices tienen el mismo polinomio característico. $\qquad \square$
Nota: El permuting matriz $Q$ para la transformación de la $J$ $J^{-1}$puede ser obtenido escribiendo a la matriz identidad $I$ de la misma orden de las $J$ en el bloque diagonal de la forma $I = \operatorname{diag}(I_1, \ldots, I_p)$ donde $I_k$ es la matriz identidad del mismo orden que $J_k$, y, a continuación, la aplicación de la misma permutación en los respectivos bloques tal como se aplica en los bloques de $J$ para obtener el $J^{-1}$. Es decir, si $$J^{-1} = \operatorname{diag}(J_{\sigma(1)}, \ldots, J_{\sigma(p)}),$$ where $\sigma$ denotes the permutation applied to the blocks, then $$Q = \operatorname{diag}(I_{\sigma(1)}, \ldots, I_{\sigma(p)}).$$
