Un subgrupo de tal forma que cada izquierdo coset está contenida en un derecho coset.

Question

Deje $G$ ser de cualquier grupo, y $H \leq G$ a un subgrupo.

Supongamos que para cada una de las $x \in G$, existe un $y \in G$ tal que $xH \subseteq Hy$. En otras palabras, cada izquierdo coset de $H$) se encuentra dentro de algún derecho coset de $H$.

Pregunta: ¿qué podemos decir acerca de $H$? En particular, ¿esto implica que $H$ es normal?

Sé que si $G$ es finito, entonces $H$ debe ser normal, porque entonces $xH \subseteq Hy$ implica $xH = Hy$, ya que el $|xH| = |Hy|$.

Answer 1

Si $xH \subseteq Hy$, luego, en particular,$x \in Hy$. Pero, a continuación,$Hx \cap Hy \neq \varnothing$, lo $Hx=Hy$, lo $xH \subseteq Hx$, lo $xHx^{-1}\subseteq H$. Como esto es cierto para todos $x$, $H$ es normal.