Vi en un libro de física de la computación $\int_0^tdt=t$. Pero me preguntaba cómo se define el rigor de la integral. Ya sé cómo definir $\int_0^a dt$, pero nunca he visto una definición rigurosa de $\int_0^{f(t)}dt$.
Respuestas
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En la física de libro de lectura, la expresión $$ \int_0^t f(t) dt $$ está destinada a representar $$ \int_0^tf(s)ds. $$
Escrito $\int_0^t dt = t$ es un abuso de notación: el símbolo $t$ se ha utilizado dos veces con significados diferentes y no representan la misma variable en los dos lugares en los que aparece.
Robin Aldabanx
Puntos
16
Para ser claros, $\int f(x) dx$ es la antiderivada o integral indefinida de $f(x)$ mientras $\int_{a}^{b} f(x)dx$ es el de la integral definida, y aunque están estrechamente relacionados, como voy a demostrar, que técnicamente son dos cosas diferentes.
Normalmente, como en los comentarios, no podemos contar con límites de integración también ser la variable que se están integrando con respecto a. Pero si estamos "separados" de la $t$s en $t$ para el obligado y $T$ para la variable de integración, podemos ver lo que ellos están tratando de mostrar es que la antiderivada de $1$ con respecto al $t$$t$.
$$\int f(x)dx=\int_{0}^{x}f(t)dt$$
Si y sólo si la constante de integración C se supone que es 0
Así que, en su caso:
$$\int dt = \int 1 \cdot dt = \int_{0}^{t}dT=\int_{0}^{t} 1 \cdot dT= t$$
Voy a decir que esto es muy desorganizado y confuso de la notación, y va en contra de la convención, pero puede, en una manera de ser más conveniente si usted interpretar futuro integrales configura de esta manera como este:
$$\int_{0}^{t}f(t)dt = \int f(t)dt$$
