Hay homomorphisms de álgebras de grupo que no provienen de un grupo de homomorphism?

Question

Dado un finito grupo $G$, se puede definir el grupo de álgebra $\mathbb{C}[G]$ como el álgebra tener los elementos de $G$ como base, con la multiplicación de $G$. Claramente, cualquier grupo homomorphism induce un álgebra de homomorphism en el grupo de álgebras.

Me pregunto si se puede demostrar que el álgebra homomorphism de dos álgebras de grupo siempre debe provenir de un homomorphism de grupos.

Answer 1

Deje $G = \{e, \sigma\}$ el grupo de orden $2$. A continuación, $\{e, \sigma\}$ es una base para $\mathbb C[G]$. El lineal mapa dado por $e \mapsto e$ $\sigma \mapsto -\sigma$ es un automorphism de $\mathbb C[G]$ que no provienen de un grupo homomorphism.

Answer 2

Es bien sabido que el diedro grupo de orden $8$ y los cuaterniones han isomorfo grupo de álgebras. Tomando un isomorfismo y la restricción a la base del diedro de grupo dada por los elementos del grupo no le da la base de los cuaterniones dada por los elementos del grupo, porque si se hizo esto implicaría que el diedro grupo y los cuaterniones se isomorfo como grupos. Así que en este sentido no "vienen de un grupo de homomorphism".