Integrar la función $\int_{0}^{\infty}\lambda^{x}e^{-2\lambda}d\lambda$

Question

¿Cómo puedo integrar esta función? Se originó por una exponencial previo y una probabilidad de poisson.

$\int_{0}^{\infty}\lambda^{x}e^{-2\lambda}d\lambda$

Answer 1

Esto está relacionado con la función gamma:

$$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} dt \, t^{z-1} e^{-t}$$

En su caso, sub $t=2 \lambda$, $d\lambda = t/2$ y obtener

$$2^{-(x+1)} \int_0^{\infty} dt \, t^x \, e^{-t} = 2^{-(x+1)} \Gamma(x+1) = \frac{x}{2^{x+1}} \Gamma(x)$$