Ramificación reglas para $SU(3)$

Question

¿Cómo calcular la ramificación reglas para $SU(3)\to SU(2)\times U(1)$.?

En particular, no sé cómo poner el abelian cargos.

Tomemos, por ejemplo, la adjoint $\mathbf{8}$$SU(3)$.

Puedo ver que se descompone como $\mathbf{8}\to\mathbf{3}+2\cdot\mathbf{2}+\mathbf{1}$.

Pero, ¿cómo puedo averiguar las representaciones de la $U(1)$ factor?

Furtheremore, hace un procedimiento general, o de un programa informático específico existen en el fin de calcular estos ramificación de las reglas? Por ejemplo, ¿cómo se podía ir con la informática de la ramificación reglas de $SU(5)$?

Answer 1

Voy a usar una notación que probablemente usted sabe. Voy a denotar grupo de representaciones por parte de Dynkin etiquetas. Considere lo siguiente: \begin{equation*} [1,0]_3 = [1]_2 q^1 + [0]_2q^0 \ , \end{ecuación*} y \begin{equation*} [0,1]_3 = [1]_2 q^{-1} + [0]_2q^0 \ . \end{ecuación*} Donde $q$ $U(1)$- a cargo de la representación. Por diagramas de Dynkin la $SU(3)$ álgebra puede ser representado como 0---0 y el reflejo, simetría corresponden a la compleja conjugación. Por lo tanto, sabemos que el medico adjunto rep $[1,1]_3$ a ser real, porque tiene $\boldsymbol{3}$ y su conjugado $\boldsymbol{\bar{3}}$ sobre el mismo pie, este razonamiento se aplica también a la Abelian cargo. Por lo tanto, esto se manifiesta en la descomposición de la siguiente manera \begin{equation*} [1,1]_3 = [2]_2 q^2 + [1]_2 \left(q^1 + q^{-1}\right) + [0]q^0 \ . \end{ecuación*}