¿Cómo puedo calcular la integral de la $\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1+t^4}$?

Question

Tengo para calcular esta integral $$\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1+t^4}$$ a resolver un problema en una tarea. He intentado de muchas maneras, pero estoy atascado. Una búsqueda en la web revela que esto se puede hacer por los métodos de análisis complejo. Pero no he tomado este curso. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que la sustitución de $t=1/u$ cambios de la integral para $$\int_0^\infty \frac{u^2}{1+u^4}du.$$ No suena muy útiles, pero hubo una extensa discusión de que aquí.

Añadido: Pero que podemos hacer mejor. Dividir la integral en dos partes, $0$$1$, e $1$ hasta el infinito. En la segunda parte, vamos a $t=1/u$. Llegamos $\int_0^1 \frac{u^2}{1+u^4}du$. Ahora $u$ ha hecho su deber, y está descartado para el más popular de $t$. Nuestro original de la integral es igual a $$\int_0^1 \frac{1+t^2}{1+t^4} dt.$$

Ahora hay un pequeño milagro. $$\frac{1}{1-\sqrt{2}t+t^2}+ \frac{1}{1+\sqrt{2}t+t^2}=\frac{2(1+t^2)}{1+t^4}.$$

Completa la plaza(s) de la forma habitual.

Answer 2

Si usted no quiere hacer un parcial fracción de descomposición, poner $I:=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}$. Por la sustitución de $x=\frac 1t$$\left]0,+\infty\right[$$\left]-\infty,0\right[$, obtenemos $2I = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{x^2}{1+x^4}dx$. Ahora tenemos \begin{align*} 4I &= \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{t^2-\sqrt 2t+1}{(t^2-\sqrt 2t+1)(t^2+\sqrt 2t+1)}dt \\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{t^2+\sqrt 2t+1}\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(t+\frac{\sqrt 2}2)^2-\frac 12+1}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{du}{u^2+\frac 12}\\ &=2\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{du}{(\sqrt 2 u)^2+1}\\ &=\frac 2{\sqrt 2}\arctan (\sqrt 2u)\mid_{u=-\infty}^{u=+\infty}\\ &=\frac {2\pi}{\sqrt 2} \end{align*} y, finalmente,$I=\dfrac{\pi}{2\sqrt 2}$.

Answer 3

También se puede hacer por parciales de la fracción de descomposición. Tenemos $$ \frac{2\sqrt{2}}{1+t^4} = \frac{t + \sqrt{2}}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} - \frac{t - \sqrt{2}}{t^2 - \sqrt{2}t + 1}. $$ Tenemos $$\int_0^\infty \frac{dt}{t^2 \pm \sqrt{2}t + 1} = \int_0^\infty \frac{dt}{(t \pm \sqrt{2}/2)^2 + 1/2} = \int_0^\infty \frac{2dt}{(\sqrt{2} t \pm 1)^2 + 1} = \sqrt{2} \arctan (\sqrt{2}t \pm 1) \big|_0^\infty.$$ Continuando, tenemos $$\frac{\sqrt{2}\pi}{2} - \sqrt{2} \arctan (\pm 1) = \frac{\sqrt{2}\pi}{2} \mp \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}\pi (2 \mp 1)}{4}.$$ A continuación, tenemos $$ \int_0^\infty \frac{(2t \pm \sqrt{2}) dt}{t^2 \pm \sqrt{2}t + 1} = \log (t^2 \pm \sqrt{2}t + 1) \big|_0^\infty. $$ La integral no convergen, pero podemos considerar en su lugar $$ \int_0^\infty \frac{(2t + \sqrt{2}) dt}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} - \frac{(2t - \sqrt{2}) dt}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} = \log \frac{t^2 + \sqrt{2}t + 1}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} \big|_0^\infty = 0. $$ Por lo tanto podemos reescribir nuestra fase de expansión inicial $$ \frac{4\sqrt{2}}{1+t^4} = \frac{2t + 2\sqrt{2}}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} - \frac{2t - 2\sqrt{2}}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} = \frac{2t + \sqrt{2}}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} - \frac{2t - \sqrt{2}}{t^2 - \sqrt{2}t + 1} + \frac{\sqrt{2}}{t^2 + \sqrt{2}t + 1} + \frac{\sqrt{2}}{t^2 - \sqrt{2}t + 1}. $$ Integrando, obtenemos $$ \int_0^\infty \frac{4\sqrt{2}}{1+t^4} = \sqrt{2} \frac{\sqrt{2} \pi (2-1)}{4} + \sqrt{2} \frac{\sqrt{2} \pi (2+1)}{4} = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2} = 2\pi. $$ Por lo tanto, la integral que queremos es $$ \int_0^\infty \frac{1}{1 + t^4} = \frac{2\pi}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{4}. $$

Answer 4

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Con $\ds{x \equiv {1 \over 1 + t^{4}} \quad\ffi\quad t = \pars{1 - x \sobre x}^{1/4}}$: \begin{align} \color{#00f}{\large\int_{0}^{\infty}{\dd t \over 1 + t^{4}}}&= \int_{1}^{0}x\,{1 \over 4}\,\pars{1 - x \over x}^{-3/4} \pars{-\,{1 \over x^{2}}}\,\dd x = {1 \over 4}\int_{0}^{1}x^{-1/4}\pars{1 - x}^{-3/4}\,\dd x \\[3mm]&= {1 \over 4}\,{\rm B}\pars{{3 \over 4},{1 \over 4}} ={1 \over 4}\,{\Gamma\pars{3/4}\Gamma\pars{1/4} \over \Gamma\pars{3/4 + 1/4}} ={1 \over 4}\,{\pi \over \sin\pars{\pi\bracks{1/4}}} = \color{#00f}{\large{\root{2} \over 4}\,\pi} \approx 1.1107 \end{align}

Answer 5

$1 + t^4 = (1 + 2t^2 + t^4) - 2t^2 = (1 + t^2)^2 - (\sqrt{2} t)^2$

Esta es una diferencia de cuadrados y por lo tanto puede ser factorizada. Una vez que hemos factorizado, el uso parcial de las fracciones.

Si usted no sabe el truco, usted puede hacer esto:

$1+t^4=0$ fib $t^4 = -1$, lo $t^2 = \pm i$. Si $t^2 = i$,$t = \pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$, y si $t^2 = -i$,$t = \pm\frac{1-i}{\sqrt{2}}$. La manera de conseguir esto es que cuando se multiplican números complejos, agregar ángulos y multiplicar las longitudes; por lo tanto, cuando usted toma la raíz cuadrada de un número complejo, se toma la raíz cuadrada de la longitud y corte el ángulo por la mitad.

Así que ahora tienes a $1+t^4 = \big( (t - (1+i)/\sqrt{2})(t - (1-i)/\sqrt{2})\big)\big((t - (-1+i)/\sqrt{2})(t - (-1-i)/\sqrt{2})\big)$. Si se multiplican los dos primeros factores, se obtiene $t^2 - t\sqrt{2} + 1$. Si se multiplican los dos últimos factores, consigue $t^2 + t\sqrt{2} + 1$.

Una vez que hayas factoriza el denominador, el uso parcial de las fracciones. Tienes una irreductible factor cuadrático en el denominador, por lo que obtendrás un arco tangente.