Derivada de una variable aleatoria w.r.t. una variable determinista

Question

Estoy leyendo acerca de series de tiempo y pensé en este procedimiento: puede diferenciar una función que contiene una variable aleatoria.

Por ejemplo:

$f(t) = a t + b + \epsilon$

donde $\epsilon \sim N(0,1)$. Entonces:

$df/dt = \lim\limits_{\delta t \to 0} {(f(t + \delta t) - f(t))/ \delta t} = (a \delta t + \epsilon_2 - \epsilon_1)/\delta t = a + (\epsilon_2 - \epsilon_1)/\delta t$

Pero:

$\epsilon_2 - \epsilon_1 = \xi$

donde $\xi \sim N(0,2)$.

Pero esto significa que tenemos una variable aleatoria a través de una infinitesimalmente pequeño valor. por lo $\xi/\delta t$ va a ser infinito, excepto en los casos cuando la $\xi$ pasa a ser 0. Estoy haciendo algo mal?

Answer 1

Una variable aleatoria es una función del espacio muestral de la línea real. Por lo tanto $f(t)$ es de $f(t,\omega) = a t + b + \epsilon(\omega)$. Esta función puede ser diferenciados con respecto a $t$, fija $\omega$, por supuesto. El resultado derivado, siendo una función de $\omega$, es una variable aleatoria. En este caso:

$$\frac{\partial f}{\partial t}(t, \omega) = a$$ Ya que no dependen de $\omega$, la derivada es determinista, en este ejemplo.