La ecuación integral de Volterra de segunda tipo de solucionar utilizando resolvent kernel

Question

Resolver la ecuación integral

$$ y(t)= f(t) + \lambda \int_{0}^{t} (t-s) y(s) ds $$

donde $f$ es continua utilizando el método de búsqueda de la resolvent kernel y Newmann de la serie.

Aquí es lo que yo hice:

$ K_1 (t,s) \equiv K(t,s) =t-s$

$ K_2 (t,s) = \int_{s}^{t} K(t, \xi) K_1 (\xi ,s) d \xi= \frac{1}{2} (t+s)^2(t-s)-ts(t-s) +\frac{1}{3} (s^3 -t^3) $

A partir de aquí y en los cálculos son demasiado difíciles.

¿Hay algún truco?

Alguna ayuda?

Muchas gracias de antemano!

P. S ¿hay otra manera de solucionarlo (sin el uso de este método) ?

edit: no he hecho ningún proceso. Alguna ayuda?

Answer 1

Un problema relacionado. Estoy respondiendo a su pregunta acerca de la otra manera de resolver el problema. La otra técnica es el uso de la transformada de Laplace de la técnica. Tomando la transformada de Laplace de ambos lados da

$$ Y(s)= F(s)+\lambda L(x*y(x))=F(s)+\lambda L(x)L(y(x))=F(s)+\frac{\Gamma(2)\lambda}{s^2}Y(s). $$

La simplificación de la anterior da

$$ Y(s)= \frac{s^2F(s)}{s^2-\lambda}. $$

Tomando la transformada inversa de Laplace de los rendimientos de la solución

$$ y(x)=f \left( x \right) +\sqrt {\lambda}\int _{0}^{x}\!f \left( t \right) \sinh \left( \sqrt {\lambda} \left( x-{t} \right) \right) {d{t}} .$$

Notas: Hemos utilizado los hechos

i)$$ L(\delta(x)+\sqrt {\lambda}\sinh \left( \sqrt { \lambda}x \right) ) = \frac{s^2}{s^2-\lambda}.$$

ii) La transformada de Laplace de la convolución es igual al producto de la de Laplace.

Answer 2

No hay necesidad de ampliar el integrando. Cambio lineal de variables de asignación de $[s,t]$ $[0,1]$reduce integrales para $K_n$ a beta-función. Será fácil calcular varios primeros, supongo que la fórmula para $K_n$ y demostrarlo por inducción.

Editar

Haciendo el cambio de variables $\xi=s+y(t-s)$ hemos $$ \int_s^t(t-\xi)(\xi-s)\,d\xi= (t-s)^3\int_0^1(1-y)y\,dy= (t-s)^3B(2,2). $$