Encontrar todos los posibles valores de $f'(1)$

Question

Deje $f$ ser una función derivable tal que $f(1)=1$ y la pendiente de la línea tangente a la curva de $y=f{[x*f(x*y)]^2 }$ en el punto de $A(1,1)$$3$.

Encontrar todos los posibles valores de $f'(1)$ .

mi solución $1=x^2*(f(x))^2 (f(x))^2=1/x^2 ((f(x))^2)'=(1/x^2)' 2*f(x)*(f(x))'=-2/x^3 x=1 => 2*f(1)*(f(1))'=-2 f(1)=-2/2*f(1)=-1$ Respuesta es $-1$. Por lo tanto, es la única respuesta? dudo porque yo no uso la última condición

Answer 1

La aplicación de la regla de la cadena tenemos

$$y=f((xf(xy))^2)\implies y'=f'((xf(xy))^2)\cdot 2xf(xy)\cdot (f(xy)+xf'(xy)\cdot (y+xy')).$$ Since $y'(1)=3,y(1)=f(1)=1,$ tenemos

$$3=f'(1)\cdot 2\cdot (1+f'(1)\cdot (1+3)).$$ Que es,

$$3=2f'(1)(1+4f'(1))=8f'(1)^2+2f'(1)$$ o

$$8f'(1)^2+2f'(1)-3=0.$$

Resolver la ecuación de segundo grado y se obtienen dos soluciones.