[EDITAR 2 esta es en realidad una respuesta, véase más abajo]. No es una respuesta completa, pero es un comienzo. Primera nota de que, dependiendo de las propiedades de las frecuencias $\omega_j$ su función de $F(x)$ tiene un comportamiento muy diferente. Cuando las frecuencias son números racionales, la función de $F(x)$ es periódica. Para encontrar el número de ceros en un intervalo de $[0,X]$ tendrá la forma explícita de las frecuencias. Si las frecuencias son racionalmente independiente (es decir, linealmente independientes sobre el conjunto de los racionales) su función es casi periódicas. Usted puede encontrar algo de información en este artículo de wikipedia.
Ahora tenga en cuenta que usted puede escribir el número de ceros de $F(x)$ $[0,X]$
\begin{equation}
N(X) = \int_0^X \delta(F(x)) |F'(x)| dx \tag{1}
\end{equation}
donde $\delta()$ es la función delta de Dirac. Ahora, con la asunción de racional de la independencia, puede utilizar el teorema de la media de Weyl:
$$
\lim_{X\to\infty} \frac{1}{X} \int_0^X f(x) dx = \langle f \rangle
$$
donde $\langle f \rangle$ es el "espacio de la fase" promedio $m$ dimensiones toro ($m$ es el número de frecuencias). Más precisamente
$$\langle f \rangle = \left ( \prod_{j=1}^{m} \int_0^{2\pi} \frac{d\theta_j}{2\pi} \right ) f(\theta_1,\ldots,\theta_m) \etiqueta{2}
$$
Ahora, para un gran $X$ puede escribir
$$N(X) \simeq X \langle N \rangle$$
donde el promedio de $\langle N \rangle $ puede ser calculada como un espacio de fase de la media. Ahora normalmente el espacio de fase promedio son mucho más fáciles de calcular que el "tiempo promedio" (su $x$) y usted debe ser capaz de estimar $\langle G \rangle$.
En cualquier caso, su pregunta es tan natural que me imagino que alguien ya haya calculado la respuesta.
Hay un libro de Besicovitch en casi periódica de las funciones que puede contener alguna información. No es de extrañar que el título es "Casi funciones periódicas". Si buscas en google "teorema de la media", "Weyl", usted debe obtener más información sobre lo que acabo de escribir arriba.
Espero que esto ayude.
EDITAR
Supongo que debe ser bastante claro que, en general, su función tiene un número infinito de ceros, por lo tanto yo interpreté su pregunta como: encontrar el número de ceros en un intervalo dado, $[0,X]$ (posiblemente con $X$ grande)
EDIT 2: Respuesta
Resulta que la Eq. (1) es básicamente de Arroz de la fórmula para el recuento de ceros, y es una gran cosa en el procesamiento de la señal (es usted ingeniero?). Usted puede encontrar más información en la biblia aquí. Allí será, básicamente, también encontrar la respuesta, al menos para el caso del racionalmente frecuencias independientes y un gran $m$ como en este caso, su función es la de un proceso aleatorio Gaussiano. En este caso, el promedio de número de ceros en un intervalo de $[0,T]$ (lo siento, he cambiado a la hora de notación, que sólo tiene mucho más sentido) está dada por
$$ \langle N(T) \rangle = T \frac{1}{\pi} \sqrt{-\frac{\psi''(0)}{\psi(0)}} $$
donde $\psi(\tau)$ es la función de correlación:
$$ \psi(\tau) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_0^T F(t) F(t+\tau) dt $$
Ahora usted debería ser capaz de hacer los pasos finales y obtener la respuesta.
Sugerencia. Si sus frecuencias $\omega_j$ son razonablemente distribuidas $N(T)$ es básicamente independiente de $m$. Por ejemplo, si $\omega_j$ están distribuidos de manera uniforme en $[0,1]$
$$ N(T) \approx \frac{T}{\pi \sqrt{3}} $$
