Resolución de $Ax = b$ cuando $A$ es singular

Question

Tengo un sistema de ecuaciones, expresado como

$\mathbf{A} \begin{pmatrix}x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ i (\frac{1}{2} + C - a) \ i(\frac{1}{2} - C - a) \frac{m \cos(\alpha)}{k} \ -i(\frac{1}{2} - C - a) \frac{\sqrt{m^2 + k^2} + m \sin(\alpha)}{k} \end{pmatrix}$

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} m \sin(\alpha) - \sqrt{m^2 + k^2} & m \cos(\alpha) & k & 0 \ m \cos(\alpha) & -m\sin(\alpha) - \sqrt{m^2 + k^2} & 0 & k \ k & 0 & -m\sin(\alpha) - \sqrt{m^2 + k^2} & -m \cos(\alpha) \ 0 & k & -m \cos(\alpha) & m \sin(\alpha) - \sqrt{m^2 + k^2} \end{pmatrix}$

donde $\mathbf{A}$ es una matriz singular de $4\times 4$ y $C, a$ son constantes no cero.

Estoy tratando de encontrar $x_n$. Si $\mathbf{A}$ es singular, por lo que sé, esto sólo es posible si la derecha es $0$.

Puedo configurar el % de restricción $ \frac{1}{2} -C = a$modo que el lado derecho se convierte en $\begin{pmatrix} 0 \ 2iC \ 0 \ 0 \end{pmatrix}$, pero no realmente me en cualquier lugar. ¿Hay otros métodos para hacer esto?

Answer 1

Si usted se siente cómodo dejando que una herramienta como MATLAB hacer el trabajo, siempre se puede intentar calcular el pseudoinverse y se multiplica por el vector:

y = pinv(A) * x;

A continuación, puede ver si $A * y = x$. Si es así, entonces $x$ está en el rango del espacio de $A$; si no, no lo es.

Si usted necesita para hacer algo simbólico, entonces lo que yo sugiero es que expresan $(x_3,x_4)$ en términos de $(x_1,x_2)$ el uso de las dos primeras filas; a continuación, sustituyendo el resultado en la segunda de las dos filas. Voy a darle una oportunidad y ver si puedo llegar a algo decente; si es así, voy a editar este post.

EDIT: Aquí está el pensamiento. En primer lugar, romper la matriz de coeficientes en $2\times 2$ bloques y LHS y RHS vectores en consecuencia: $$ \begin{bmatrix} A_1 & k I \\ k I & A_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \bar{x}_{12} \\ \bar{x}_{34} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} $$ donde $\bar{x}_{12}=\left[\begin{smallmatrix}{x_1\\x_2}\end{smallmatrix}\right]$ y $\bar{x}_{34}=\left[\begin{smallmatrix}{x_3\\x_4}\end{smallmatrix}\right]$. Ahora usted tiene desde el primer bloque de la fila, $$ k \bar{x}_{34} = b_1 - A_1 \bar{x}_{12} $$ Sustituyendo de nuevo en el segundo bloque de la fila, $$ k \bar{x}_{12} + A_2 \left( k^{-1} b_1 - k^{-1} A_1 \bar{x}_{12} \right) = b_2$$ Consolidar y multiplicar por $k$, $$ ( k^2I - A_2 A_1 ) \bar{x}_{12} = k b_2 - A_2 b_1$$ Usted no debería tener dificultad computación estas cantidades simbólicamente. Debería ser mucho más fácil de determinar cuando esta $2\times 2$ sistema tiene una solución.

EDIT 2: ja, Ja! Tengo la leve sensación de que $k^2I-A_2A_1\equiv 0$. Sin duda hace un par de numérico de las instancias que lo intenté. Si es así, ahí está su respuesta: el sistema lineal tiene una solución única al $k b_2 - A_2 b_1 = 0$.