Línea de Euler del triángulo $ABC$ es paralela al lado $BC$ $\implies$ $\tan B \tan C = 3$

Question

Estoy teniendo algunos problemas en este ejercicio de Geometría Revisited:

Sobre el triángulo $ABC$, el de Euler de la línea es paralela a $BC$. Demostrar que $\tan B \tan C = 3$.

Aquí está la solución:

(en este contexto, $D$ es la base de la altitud de $A$, $O$ es el circuncentro, $A'$ es el punto medio de la $BC$, e $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita)

Yo entiendo todo, hasta la última línea. Sin embargo, no entiendo cómo la línea de $OA'$ está relacionado con el circunradio.

¿Por qué es $OA'= R \cos A$?

Answer 1

Bueno, me di cuenta de lo que estaba pasando después de Día de retraso No publicado su comentario: puesto que él no escribe una respuesta completa voy a responder a esto mismo.

Probablemente debería haber incluido este diagrama cuando me hizo la pregunta:

Desde $O$ es el circuncentro, tenemos $\angle BOA' = \frac{1}{2} \angle BOC = \angle A$, lo $OA' = R \cos A$. Desde $\cos A = \cos (180-B-C)$, este lado es igual a $R(\sin B \sin C - \cos B \cos C)$ por algunas identidades trigonométricas.

Ahora sabemos que $OA' = \frac{1}{3} AD$, por lo que tenemos la siguiente ecuación:

$$R(\sin B \sin C - \cos B \cos C) = \frac{1}{3} (2R \sin B \sin C)$$

Simplificando se obtiene el deseado de la tangente a la igualdad.

Answer 2

Casualmente hace poco estuve trabajando en el mismo problema; he Aquí otra versión de esta solución, con la tangente múltiples igual a 3 y la línea de Euler OH demostrado.

Aquí es otro diagrama que me había preguntas. He arrastrado vértice B de su posición en el diagrama de arriba para formar un triángulo obtusángulo. Ahora, el producto de las tangentes es de -3, y el de Euler línea ya no es paralelo (u ortogonales). [El ángulo medido OLB da el ángulo, La posición de etiquetas están fuera en el diagrama, pero L es el punto a la derecha, que se parece a J a causa de la colocación de la etiqueta]. Parece más que justo al azar que la tangente del producto es de -3, pero tal vez no. No he tratado de averiguar si hay otra tangente del producto declaración de que se podría hacer aquí...