¿Todo elemento de un conjunto es también un conjunto?

Question

He estado tratando de entender de manera más formal lo que es un conjunto, pero tengo algunas preguntas. Según el axioma de regularidad para todo conjunto no vacío A existe un elemento en el conjunto que es disjunto de A. Eso significaría que dicho elemento es también un conjunto, ¿no?

He leído aquí: Axioma de regularidad En la teoría axiomática de conjuntos todo es un conjunto, entiendo que los números naturales se construyen a partir del conjunto vacío, los enteros se construyen a partir de los naturales, los racionales a partir de los enteros y los reales a partir de los racionales. Puedo ver cómo cada elemento de estos conjuntos es también un conjunto. Pero, por ejemplo, en el conjunto de todas las letras del alfabeto, o el espacio muestral de un experimento cuando los posibles resultados no son números, o el conjunto de mis compañeros de clase; no me queda claro cómo sus elementos son también conjuntos. Entonces, ¿son realmente conjuntos? ¿Cada elemento de un conjunto es también un conjunto?

Gracias

Answer 1

En el contexto de la teoría axiomática de conjuntos, (normalmente) sólo permitimos conjuntos cuyos elementos son conjuntos. Por tanto, en ese contexto, no existe "el conjunto de todas las letras del alfabeto", ni tus otros ejemplos. Sin embargo, eso no significa que no se pueda hablar de estos conceptos en la teoría axiomática de conjuntos, sólo hay que codificar en conjuntos. Por ejemplo, en lugar de hablar de las letras del alfabeto, se podría hablar del conjunto de números naturales de $1$ a $26$ con el entendimiento de que $1$ en secreto significa A y $2$ secretamente significa B y así sucesivamente. En realidad, esto no difiere de la idea de "construir" números como conjuntos con la que dijiste estar familiarizado: tenemos una idea intuitiva de los números, y encontramos una manera de hablar de ellos usando sólo conjuntos cuyos elementos son todos conjuntos. Del mismo modo, podemos encontrar esa forma de hablar de las letras, o de los compañeros de clase, o de cualquier otra cosa de la que se quiera hablar y que no sea intuitivamente un conjunto.

Answer 2

Eso depende de los axiomas o del sistema que utilices. Por supuesto, puedes crear un sistema que permita objetos atómicos (distintos) (se llaman ur-elements ) que pueden ser elementos de conjuntos, así es como empezó originalmente la teoría de conjuntos ZF.

Sin embargo, en la teoría de conjuntos ZF (moderna) el axioma de extensionalidad prohíbe básicamente cualquier cosa que no sea un conjunto. Las cosas se consideran iguales si tienen los mismos elementos y como todo lo que no es un conjunto no tiene elementos se consideraría igual al conjunto vacío.

Como has señalado uno construye los números naturales y así sucesivamente construyendo conjuntos. Sin embargo uno normalmente no usa esas propiedades de ellos (siendo conjuntos), casi nunca se ven cosas como $1 \cup 2$ o $0 \in 1$ . Hay que tener en cuenta que la forma en que se construyen los números naturales no está estandarizada, es decir, hay diferentes formas de conseguir las mismas propiedades (estandarizadas) de los números (lo que hace que el uso de los números como conjuntos no sea estándar y no tenga un significado universalmente aceptado).