tal vez esta suma tiene aproximación $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^3\approx\frac{2}{\pi\sqrt{3}n}\cdot 8^n,n\to\infty$

Question

probar o refutar esta %#% $ #%

este problema es a partir de Cuándo encontrar este límite $$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^3\approx\dfrac{2}{\pi\sqrt{3}n}\cdot 8^n,n\to\infty?$ $

primero, siga no $$\lim{n\to\infty}\dfrac{\displaystyle\sum{k=0}^{n}\binom{n}{k}^3}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}^3}=\dfrac{1}{8}?$ $. Gracias por tú ayuda

Answer 1

Me gustaría empezar por señalar que uno puede aproximarse a una distribución binomial para un gran $n$ por una distribución normal de la siguiente manera:

$$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \sim \frac1{\sqrt{2 \pi n p (1-p)}} e^{-(k-n p)^2/(2 n p (1-p))}$$

Para $p=1/2$ esto se simplifica a

$$\frac1{2^n} \binom{n}{k} \sim \sqrt{\frac{2}{\pi n}} e^{-2 (k-n/2)^2/n}$$

Tenga en cuenta que una suma de $k$ a la izquierda y un integrante más de $k$ sobre el derecho a la igualdad de $1$.

Ahora cubo de la ecuación anterior, y la integración de la mano derecha sobre $k$:

$$\begin{align}\frac1{8^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^3 &\sim \left ( \frac{2}{\pi n} \right )^{3/2} \int_{-\infty}^{\infty} dk \, e^{-6 (k-n/2)^2/n}\\ &= \left ( \frac{2}{\pi n} \right )^{3/2} \sqrt{\frac{n \pi}{6}}\\ &= \frac{2}{\sqrt{3} \pi n}\end{align}$$

El declaró resultado de la siguiente manera.

Yo se que este es apenas un riguroso manera de probar el resultado, sino simplemente de la siguiente manera a partir de una consecuencia del teorema del límite central.

Answer 2

Deje $\;\displaystyle\text{Fr}_n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k}^3\;$ $n^{th}$ Franel número (OEIS A000172 ).

Combinatoria, es la suma de los coeficientes en el siguiente polinomio de expansión donde el poder de la $x, y, z$ son todos el mismo.

$$(1+x)^n (1+y)^n (1+z)^n = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n \binom{n}{i}\binom{n}{j}\binom{n}{k} x^i y^j z^k $$

Más precisamente, $$\text{Fr}_n = \sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n\sum_{k=0}^n \binom{n}{i}\binom{n}{j}\binom{n}{k} \delta_{ij}\delta_{jk}$$ donde $\delta_{ij}$ es la delta de Kronecker. Utilizando la siguiente representación integral de la delta de Kronecker,

$$\delta_{pq} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i(p-q)\theta} \frac{d\theta}{2\pi}$$ Podemos derivar una representación integral de la $\text{Fr}_n$:

$$ \text{Fr}_n = 8^n \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\theta,\phi)^n \frac{d\theta d\phi}{4\pi^2} \quad\text{ donde }\quad f(\theta,\phi) = \left(\frac{\cos\theta+\cos\phi}{2}\right)\cos\theta $$ A través de su dominio $[-\pi,\pi]^2$, $f(\theta,\phi)$ varía entre el$-\frac18$$1$. Si dejamos $\rho(t)$ ser la "densidad" donde$f(\theta,\phi)$, tomando el valor de $t$. Podemos simplificar la expresión anterior como

$$\text{Fr}_n = 8^n \int_{-\frac18}^1 t^n \rho(t) dt$$

Para un gran $n$, el peso de la $t^n$ factor en la integral anterior se concentran en $t \sim 1$. Sólo tenemos que averiguar el comportamiento de $\rho(t)$ no. La contribución de otras partes del intervalo será exponencialmente suprimida.

Introducir las variables de $x = \cos\theta$$y = \cos\phi$. Para $t \sim 1$, tenemos

$$\begin{align}\rho(t) = &\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \delta(f(\theta,\phi)-t) d\theta d\phi\\ = & \frac{1}{\pi^2}\int_{-1}^1\int_{-1}^1 \frac{\delta\left(\left(\frac{x+y}{2}\right)x-t\right) dx dy}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}\\ = & \frac{2}{\pi^2}\int_{\frac{\sqrt{1+8t}-1}{2}}^1 \frac{\frac{2}{x} dx}{\sqrt{(1-x^2)\left(1-\left(\frac{2t}{x}-x\right)^2\right)}} \end{align}$$ Deje $u = \frac{\sqrt{1+8t}-1}{2}$. Introducir la variable $z, w$ tal que $z = x^2 = u^2 + (1-u^2)w$, podemos simplificar anteriormente como

$$\begin{align} \rho(t) = &\frac{4}{\pi^2}\int_{u}^1 \frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(x^2-u^2)((1+u)^2-x^2)}}\\ = &\frac{2}{\pi^2}\int_{u^2}^1 \frac{dz}{\sqrt{z(1-z)(z-u^2)((1+u)^2 - z)}}\\ = &\frac{2}{\pi^2}\int_{0}^{1} \frac{dw}{\sqrt{w(1-w)(u^2+(1-u^2)w)(1+2u-(1-u^2)w)}} \end{align}$$ Deje $t = 1-\epsilon$ y Taylor ampliar el integrando en términos de $\epsilon$. Tenemos

$$\begin{align} \rho(1-\epsilon) \approx & \frac{2}{\pi^2\sqrt{3}}\int_{0}^{1}\frac{dw}{\sqrt{w(1-w)}} \left[ 1 - \frac{(4w-8) \epsilon}{9} + \frac{(48w^2-92w+70) \epsilon^{2}}{81} + \ldots \right]\\ = & \frac{2}{\pi\sqrt{3}}\left[ 1 + \frac23 \epsilon + \frac{14}{27}\epsilon^2 + \frac{104}{243}\epsilon^3 + \frac{266}{729}\epsilon^4 + \ldots \right] \end{align}$$ Introducir otra variable $\lambda$ tal que $t = e^{-\lambda}$, por encima de la expansión implica cerca de $\lambda \sim 0$.

$$\rho(e^{-\lambda})e^{-\lambda} \sim \frac{2}{\pi\sqrt{3}}\left[ 1 - \frac{\lambda}{3} + \frac{\lambda^2}{54} + \frac{\lambda^3}{486} + \frac{\lambda^4}{5832} + \ldots \right]$$

En términos de $\lambda$, la representación integral de la $\text{Fr}_{n}$ está ahora en una forma el cual se puede aplicar Watson Lema. Como resultado, obtenemos la siguiente expansión asintótica de $\text{Fr}_n$:

$$\begin{align} \text{Fr}_n = & 8^n \left\{ \int_0^\Lambda e^{-n\lambda} \rho(e^{-\lambda})e^{-\lambda} d\lambda + O\left(\max\left( e^{-\Lambda}, \frac18 \right)^n\right) \right\} \\ \stackrel{asy}{\sim} & 8^n \frac{2}{\pi\sqrt{3}n}\left[ 1 - \frac{1}{3n} + \frac{1}{27n^2} + \frac{1}{81n^3} + \frac{1}{243n^4} + \ldots \right]\tag{*1} \end{align}$$

donde $\Lambda$ es algunos de corte para $\lambda$ donde la expansión de Taylor de $\rho(e^{-\lambda})e^{-\lambda}$ es válido.

De hecho, una vez que averiguar el líder comportamiento de $\text{Fr}_n$, hay una manera más simple camino a la deriva por encima de la expansión. Franel ha mostrado $\text{Fr}_{n}$ satisfacer siguiente recurrencia relación:

$$n^2 \text{Fr}_n = (7n^2-7n+2) \text{Fr}_{n-1} + 8(n-1)^2 \text{Fr}_{n-2}\tag{*2}$$

Si uno escribe una formales de expansión de $\text{Fr}_n$ de la forma

$$\text{Fr}_n = 8^n \frac{2}{\pi\sqrt{3}n}\left[ 1 + \frac{\beta_1}{n} + \frac{\beta_2}{n^2} + \ldots\right]$$

Enchufe esta en $(*2)$ y el partido de los coeficientes, se obtiene:

$$\text{Fr}_n = 8^n \frac{2}{\pi\sqrt{3}n}\left[ 1 -\frac{1}{3n} +\frac{1}{3^3n^2} +\frac{1}{3^4n^3} +\frac{1}{3^5n^4} +\frac{11}{3^7n^5} +\frac{49}{3^9n^6} -\frac{317}{3^9n^7}\\ -\frac{2797}{3^{10}n^8} -\frac{61741}{3^{13}n^9} +\frac{734467}{3^{14}n^{10}} + \ldots \right]$$

Una expansión constante que hemos conseguido por otros medios y apareció en respuestas en casi la misma pregunta.