Integral de contorno utilizando el residuo

Question

Supongamos que $f(z) \in \{\sqrt{2z^2 + 1}\}$ $,f(0) = 1$

Tenemos un corte: $\gamma = \{|z| = \frac{1}{\sqrt2}, Re(z) \geqslant 0 \}$

$\oint\limits_{|z|=1} \frac{z dz}{(z+2)(f(z) + 3)}$

He encontrado singularidades: $z_1 = 2$ y $z_{2,3} = -2$ . Pero no están en nuestra zona $|z| < 1$ . Según el teorema del residuo, significa que la integral es igual $0$ .

Pero en el libro tienen una respuesta completamente diferente: $\pi i( \frac{17}{12} - \sqrt2 )$

¿Qué me he perdido?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario...

Yo sugeriría:

1) Elegir el contorno de integración como se ha descrito anteriormente, es decir, dos semicírculos de radio $1$ argumentos $[\pm\pi/2\pm\epsilon]$ y cuatro líneas rectas $[\pm i/\sqrt{2}\pm\epsilon,\pm i\pm\epsilon]$ . Los pequeños círculos alrededor del punto de ramificación desaparecerán...

2)Como ningún residuo está dentro de nuestro contorno, la única contribución es la de las integrales de corte de rama alrededor de las rendijas.

3)Las restantes integrales se pueden hacer volteando el corte de manera que sólo tengamos una que llegue desde $(-i/\sqrt{2},i\sqrt{2})$ (Hay que tener mucho cuidado con los argumentos en este punto)

4) La integral restante puede hacerse invirtiendo la dirección del contorno y recoger los residuos en todo el plano complejo

5) En este punto será necesario recoger los residuos en el infinito, esto se puede hacer cambiando $f(z)\rightarrow \frac{-1}{z^2}f(1/z)$ y mirando a $0$