Operadores que conmutan con traslaciones

Question

Sea $T$ sea un operador lineal acotado en $L^2(\mathbb R)$ . Así pues, supongamos ahora que $T$ conmuta con las traslaciones $\tau_x$ . ¿Cómo demuestro ahora que $T$ viene dada por una convolución con respecto a una distribución?

Por cierto, sé que probablemente pueda encontrar la prueba en algún lugar de alguno de los libros de Stein, pero me gustaría probarla yo mismo sin saber cuál debería ser pero me cuesta un poco. Así que me gustaría alguna pista. Especialmente me gustaría un método de derivar el resultado sin saber lo que debería ser. Si eso no es posible, un argumento intuitivo de por qué debería ser cierto también estaría bien.

Answer 1

Tal vez deberías mirar $F \circ T \circ F^{-1}$ donde $F$ denota la transformada de Fourier, de modo que $\tau_x$ se convierte en multiplicación por $t \mapsto e^{itx}$ y la convolución también se convierte en multiplicación por algo.

Answer 2

Algunas sugerencias:

Aunque la función delta no está en $L^2$ heurísticamente, ¿cuál es su condición en $T$ cuando se aplica a la función delta? Ahora bien, dada la respuesta a la pregunta anterior y el hecho de que toda función es una media de funciones delta trasladadas, ¿qué cabe esperar $Tf$ para un $L^2$ función $f(x)$ ?

También puede hacerlo por el lado de la transformada de Fourier.. es decir, considere $G = F \circ T \circ F^{-1}$ como sugirió Plop y luego ver cómo $G$ se comporta en un determinado $\delta(x - a)$ . A continuación, volver a utilizar la idea de que un $L^2$ es una media de funciones delta traducidas.